Ecuatia lui Einstein E = mc^2

Faimoasa ecuaţie a lui Einstein spune ca masa ( m ) este echivalentă cu energia ( E ). Voi încerca să descriu pe scurt cum s-a ajuns la această concluzie.

Plecând de la principiul relativităţii, de la care ştim că legile fizicii sunt independente de sistemele de referinţă, avem următoarele:

Fie un sistem de unde plane de lumină într-un sistem de coordonate având energia .
Fie direcţia de deplasare a radiaţiei sub un unghi cu axa a sistemului.
Vom introduce un nou sistem de coordonate , în mişcare de translaţie paralelă şi uniformă faţă de şi având originea coordonatelor în mişcare de-a lungul axei cu viteza .

Astfel, cantitatea de lumină, măsurată în sistemul de referinţă posedă energia

  unde este viteza luminii.

Fie acum un corp în repaus faţă de sistemul de coordonate , având energia . Notăm cu energia corpului măsurată în sistemul şi faţă de care corpul se deplasează cu viteza .
Presupunem acum, că acel corp emite un fascicul de lumină sub un unghi faţă de axa , cu energia măsurată în sistemul şi simultan, aceeaşi cantitate de energie, în direcţie opusă. Corpul aflându-se în repaus faţă de .
Evident, se aplică principiul relativităţii şi cel al conservării energiei. Astfel, dacă notăm energia corpului după emisia de lumină cu sau , faţă de sistemul , respectiv , putem scrie următoarele relaţii:




Scăzând cele două relaţii obţinem:



Diferenţa energiilor ce apar în expresie are următoarea semnificaţie fizică: şi reprezintă valorile energiei aceluiaşi corp, măsurată faţă de două sisteme de coordonate aflate în mişcare relativă unul faţă de altul, corpul fiind în repaus în sistemul de coordonate . Aşadar, devine clar că diferenţa poate diferi de energia cinetică a corpului faţă de doar printr-o constantă aditivă , care depinde de alegerea arbitrară a energiei constante sau .

Atunci putem scrie:



unde nu se schimbă în timpul emisiei de lumină.

Deci:

Înseamnă că energia cinetică a corpului faţă de se diminuează ca urmare a emisiei de lumină, iar diminuarea este independentă de proprietăţile corpului.

Mai mult, diferenţa , ca orice energie cinetică, depinde de viteză:



Din această ecuaţie rezultă că:

Dacă un corp emite energie sub formă de radiaţii, masa acestuia se diminuează cu .
Faptul că energia extrasă dintr-un corp devine energia radiaţiei nu reprezintă nicio diferenţă între cele două energii, de unde concluzia mai generală că:
- masa unui corp este o măsură a energiei sale.
Sau, altfel spus:
- radiaţiile transmit inerţie între corpurile emitente şi cele absorbante.

Revin cu precizarea că toate cele scrise mai sus sunt conform cu teoria şi notaţiile originale ale lui Einstein. Pentru cine nu este pe deplin edificat, reiau puţin analiza expresiei:


Observăm că termenul din stânga reprezintă o energie cinetică, pe care o vom nota cu litera . După cum ştim, energia cinetică a unui corp este descrisă prin relaţia:

Egalând cele două ecuaţii rezultă:

După ce reducem termenii obţinem , adică exact expresia lui Einstein, (folosind notaţia pentru energie în cazul nostru, în loc de ).

Demonstrația pare corectă dar nu știu dacă este suficient de revelatoare. Până la urmă oferi legătura dintre și fără justificare și ea nu este evidentă. În urma unui boost la un sistem inerțial a cărui axă este paralelă cu axa iar viteza de deplasare este , energia se transformă după legea



Cum în cazul nostru, în sistemul inițial radiația se propaga în planul x-y la un unghi față de axa x, atunci într-adevăr din formula de mai sus și din faptul că și pentru că în cazul luminii , reiese rezultatul tău. Dar trebuie să știi o grămadă de lucruri ca să fie evident  . Mai departe ar trebui să fie clar și limpede pentru oricine, numai că mie nu-mi iese relația din chenar. Să zicem că . Atunci egalând asta cu formula de deasupra chenarului, găsești că

, dar mai departe nu mă prind care-i șmecheria.

Demonstrațiile care folosesc teoria relativității nu mi se par așa bune, tocmai pentru că trebuie să știi bine de tot teoria relativității ca să le înțelegi. O să vin cu o demonstrație care se folosește numai de ecuațiile lui Maxwell, deci nu este la fel de generală de cea a lui Einstein dar oferă o idee foarte bună asupra sensului relației, și cred că nu necesită noțiuni la fel de avansate pentru a fi înțeleasă. Bine, sunt niște calcule mai alambicate pe acolo, dar o să le scriu pe îndelete.

Referitor la

în teoria originală a lui Einstein se mai afirmă: "Neglecting magnitudes of fourth and higher orders we may place:"

Aşadar, mai multe n-aş putea nici eu să precizez.

Aaaa, da! M-am prins, e foarte simplu ce face. A dezvoltat în serie Taylor primul termen din paranteză și a reținut primii doi termeni. Revin în câteva minute cu explicația pe larg, nu știu cum de nu mi-am dat seama ieri .

Așa. În analiza matematică se arată că dacă o funcție este continuă și diferențiabilă în jurul unui punct , atunci funcția poate fi dezvoltată în serie Taylor în jurul acelui punct, în felul următor:

, unde în factorul drept vreau să spun că odată evaluate, derivatele trebuie calculate în punctul .

Seria este convergentă și de regulă se rețin primii doi-trei termeni, pentru că ceilalți devin din ce în ce mai mici, dar evident în funcție de interesul tău poți să reții câți termeni dorești sau au relevanță pentru calculul tău. Concret, de regulă în serie se merge cam așa:



În cazul nostru, variabila x este chiar , care pentru viteze obișnuite este foarte foarte aproape de 0, deci dezvoltăm funcția în jurul lui 0 mergând numai până în ordinul 1 (căci deja la ordinul 2 variabila o să fie la puterea a patra, după cum se vede din formulă) și dacă bagi asta în formula unde mă blocasem eu, rămâi exact cu .

Sper că am fost suficient de clar. Deci ia v pătrat pe c pătrat ca un x și aplică formula de serie Taylor. Fără -, am greșit eu, iese semnul corect că ai un - din derivată.

E foarte utilă completarea ta. În teoria originală nu scrie exact cum s-a folosit dezvoltarea în serie Taylor.

În articole nu prea menționează explicit genul ăsta de lucruri că se consideră știute de cititori. Oricum nici mie nu mi-ar fi venit ideea așa, s-a aprins beculețul când am văzut citatul.

Foarte multe rezultate sunt valabile doar aproximativ într-o formă compactă. Deci până la urmă relația dintre masă și energie care să fie 100% corectă este cea la care m-am blocat eu (simplificând factorii de evident), dar o aproximație foarte, foarte bună, care este utilă în calcule și în majoritatea covărșitoare a aplicațiilor practice este cea obținută prin dezvoltarea în serie Taylor a formulei, folosindu-ne de faptul că pentru viteze obișnuite, raportul acela este extrem de mic(și mai e și ridicat la pătrat!).

Mi se pare foarte complicat ce ai facut acolo sus ca sa ajungi la faimoasa ecuatie. In fapt, demonstratia este foarte simpla si foarte directa.Si chiar metoda este aceeasi folosita in mecanica newtoniana pentru gasirea energiei cinetice

Mai jos prezint o alta demonstratie pentru ecuatia

Se pleaca de la masa unui corp ce se deplaseaza cu viteza este:

unde:

m	- masa de miscare
m0	- masa de repaus
v	- viteza corpului
c	- viteza luminii in vid

Forta ce actioneaza asupra unui corp este: . Unde  - impulsul corpului, t - timpul. Asadar, forta este:

De observat ca dm/dt nu este 0 in relativitate, deoarece masa depinde de v=v(t). In mecanica newtoniana dm/dt este zero, de unde expresia fortei in mecanica newtoniana:
Ne folosim de dependenta m=m(v) ca sa calculam dm/dt:


Introducem ultimul rezultat in expresia fortei:

Rearanjam, introducem m=m(v) si obtinem:


Pentru gasirea faimoasei ecuatii trebuie sa calculam lucrul mecanic:

Astfel, ne folosim de expresia fortei de mai sus:

unde am folosit
Rezolvarea integralei da:

Integrand de v=0 la v, constanta de integrare dispare:

cum


Interpretarea din aceste ultime 2 ecuatii este ca energia cinectica este , iar energie cinetica este diferenta a 2 tipuri de energii:
- energia de miscare
- energia de repaus

Energia totala este, asadar:


Adica,

Q.E.D

Mulţumesc pentru completare, nu ştiam de demonstraţia asta! Eu am încercat să informez pe baza raţionamentului lui Einstein.

Intr-adevar, demonstratia pare corecta la o citire mai rapida (sunt foarte obosit   ). O singura completare am. Exista si situatii in mecanica newtoniana in care masa este dependenta de timp. In fizica rachetelor de exemplu, masa rachetei scade cu timpul datorita consumului de combustibil. De aceea forma generala a ecuatiei lui Newton este si nu , tocmai pentru a lasa loc si situatiei fizice in care masa sistemului variaza.

In anul 2005 am tradus articolul original al lui Einstein in romana. Aici se vede cum a facut el calculul. Se vede cum nu s-a plecat de la formula variatiei masei cu viteza, cum e usor calculul dat de Mihai, ci cum se pleaca doar de la cele doua principii de baza (axiome) ale teoriei speciale al relativitatii si din ele se deduc toate formulele.

Oh, eu unul iti multumesc si te felicit pentru rabdare si dedicatie   .

Apreciez.

Revenind la formula lui Einstein, demonstrația care îmi place mie cel mai mult e ascunsă în spatele legilor de conservare ce decurg din ecuațiile lui Maxwell. Legătura dintre densitatea de curent de energie transportat de câmp și densitatea de impuls transportat de câmp este tocmai , ori din analiza dimensională reiese imediat că densitatea de energie X viteză = (densitate de masă X viteză).