Probleme de electromagnetism - rezolvari si discutii

Asa cum este mentionat in titlu, postam aici diverse probleme ce tin de toata aria electromagnetismului clasic alaturi de solutii. Incep imediat cu o problema foarte simpla. Orice contributie este bine-venita, iar in limita timpului si a priceperii atacam si probleme la cerere.

Problema 1.

Fie un camp electric oscilant in vid, cu expresia , unde este amplitudinea campului, este frecventa sa iar este numarul sau de unda. Sa se gaseasca:

a) campul magnetic indus

b) densitatea de energie electromagnetica si densitatea de flux de energie electromagnetica

c) densitatea de impuls si fluxul densitatii de impuls

d) densitatea de moment cinetic si fluxul densitatii de moment cinetic .



Rezolvare:

a)

Ne folosim de legea lui Faraday, , unde este viteza luminii in vid.  Aceasta lege ne spune ca rotorul unui camp electric este echivalent cu rata de variatie in timp a unui camp de inductie magnetica. Cu alte cuvinte, un flux magnetic variabil in timp printr-o suprafata data este echivalent cu un camp electric ce are circulatie pe conturul suprafetei. Sa studiem rotorul campului electric, in conventia in care etichetam cele trei directii ortogonale care ne definesc sistemul de referinta dupa regulile , , . Astfel:

. Nu am facut altceva decat sa tinem cont de faptul ca toate componentele campului electric in afara de cea pe directia y sunt nule. Mai departe, derivata este , si continuand analiza ajungem la

.

Singurul simbol Levi-Civita nenul in suma de mai sus este , datorita faptului ca este o permutare para a indicilor. Avem deci

.

Concluzia este limpede. Campul de inductie magnetica este orientat perpendicular la cel electric, in lungul axei z, si il gasim efectuand primitiva . Calculul este elementar, si ne rezulta campul electromagnetic total



.

Cum , putem rescrie campul .

Astfel, la fiecare moment de timp cele doua campuri sunt egale ca intensitate si mutual perpendiculare. Ne asteptam sa fie asa in cazul unei unde electromagnetice care se propaga in vid, iata ca am obtinut rezultatul printr-un calcul direct.

b)

Pentru punctul acesta si cele ce urmeaza, folosim definitiile generale care se deduc din ecuatiile lui Maxwell. Densitatea de energie electromagnetica este

,

iar in cazul nostru particular obtinem imediat

.

Densitatea de energie oscileaza la randul ei in timp, iar la un moment de timp fixat este constanta la o distanta fixata fata de origine.

Densitatea de flux de energie are definitia .

Produsul vectorial este foarte simplu: . Inlocuim in formula lui si obtinem in final

.

Am ajuns la o alta proprietate familiara a undelor electromagnetice. Energia acestui camp electromagnetic se propaga la viteza luminii in directia x, simultan perpendicular atat la componenta electrica cat si la cea magnetica. Folosind definitia divergentei unui camp vectorial aplicata la cazul nostru, , se poate verifica imediat legea conservarii energiei:

.

Interpretata in forma globala, formula de mai sus spune urmatorul lucru: intr-o regiune a spatiului in care este prezent numai camp electromagnetic, variatia energiei electromagnetice intr-un volum dat se face numai prin transport de energie prin suprafata care cuprinde volumul.

Intrebari sau comentarii sunt oricand binevenite pentru materialul de pana aici. In mesajul urmator voi trata si celelalte doua puncte.

continuare...

01.01.2015
Da acuma e corect
Sunt fixati doi indici din trei,ieri era doar unul fixat.Am tot sters observatia.

E foarte corect ce spui. Orice simbol Levi-Civita in care nici o pereche de indici nu sunt identici este nenul. Dar, in expresia de care vorbim am deja fixati doi dintre indici in simbolul , ori e clar ca daca i este 1 sau 2, simbolul este nul, si atunci singurul nenul din acea suma este pentru i=3. Altfel, desigur, sunt si alte permutari nenule.

Am scris putin despre genul acesta de calcul vectorial aici. Daca vrei sa te distrezi am lasat si niste exercitii simple. A ramas mult material de pus pe acel topic. Ca tot am rezolvat problema asta (postez imediat partea a doua), ma gandesc sa mai avansez si acolo ca sunt tehnici utile nu numai in electromagnetism (le folosesti si in relativitate de exemplu).

Problema 1. (continuare)

c)

Densitatea de impuls o aflam in mod trivial. Rezulta din ecuatiile Maxwell ca . Cum a fost deja calculat la punctul b), obtinem imediat:

.

Fluxul densitatii de impuls este putin mai complicat. Maxwell a rezolvat problema prin analogie cu fizica unui fluid, si a introdus asa-numitul tensor al tensiunilor electromagnetice , ce are semnificatia fizica mentionata, de flux al densitatii de impuls. este un tensor de ordinul 2, avand 9 componente in fiecare punct din spatiu, ce pot fi scrise ca o matrice 3x3 de elemente . Mai precis, semnificatia fizica a fiecarui element este urmatoarea: intr-un punct dat , elementul da forta electromagnetica resimtita pe axa i de catre suprafata normala la directia j, cu alte cuvinte da presiunea electromagnetica resimtita pe directia i de o suprafata normala la directia j, ceea ce este echivalent cu fluxul de impuls in directia i printr-o suprafata normala la directia j.

Expresia generala a tensorului este ,

unde este densitatea de energie calculata anterior iar este tensorul unitate de rang 2. Este evident ca elementul are expresia (fara suma implicita peste indicii care se repeta!):



Pentru campul nostru particular, tensorul are o expresie simpla, diagonala (nu am scris explicit expresia pentru U si campuri, se pot introduce din rezultatele obtinute anterior)

.

Intelegem din formula de mai sus ca un element de suprafata orientat normal la una dintre directiile x, y sau z n simte presiune decat pe directia inspre care este orientat, fie exclusiv datorita densitatii de energie electromagnetica, fie datorita densitatii de energie si campului electric, respectiv magnetic.

Ecuatia de continuitate pentru impuls are o forma similara cu cea pentru energie:

.

Derivata densitatii de impuls este banala

.

Divergenta tensorului tensiunilor nu este nici ea prea dificila. Operatorul actioneaza asupra primului indice al fiecarui element al tensorului, adica . Asta inseamna ca in termenii fiecarui element care contin intensitatea campului electric si a celui magnetic, o sa avem un rezultat de genul si analog pentru . Cum campul nostru electric este orientat pe directia y, iar dependenta sa spatiala este data numai de directia x, divergenta sa este nula. La fel si in cazul lui , a carui orientare este pe axa z, dar dependenta spatiala tine de coordonata axei x. Asta este de inteles daca ne amintim definitia divergentei unui vector pe care am folosit-o mai sus: .

Elementele cu divergenta nenula sunt deci cele care contin densitatea de energie. Sa le calculam, retinand ca divergenta actioneaza numai asupra primului indice (pentru a evita confuziile, scriu explicit suma pentru variabila peste care sumam):



Termenii nenuli sunt cei pentru care j=k, dar este chiar gradientul densitatii de energie care este din nou trivial:

.

Ne amimtim ca si am obtinut ca

.

Impulsul electromagnetic total al campului nostru se conserva. Interpretata global, ultima ecuatie spune ca variatia in timp a impulsului electromagnetic total dintr-un volum se face tot prin transport de impuls prin suprafata care margineste volumul. Mai mult transportul pentru campul nostru apare ca fluxul densitatii de energie prin suprafata.

d)

Densitatea de moment cinetic are definitia . Cu nu avem decat sa facem explicit produsul vectorial, si gasim

.

In mod interesant si poate contraintuitiv, campul nostru are o densitate nenula de moment cinetic.

Densitatea de flux de moment cinetic are o definitie destul de complicata, , unde produsul vectorial se face pe al doilea indice al lui . Pentru cine se incumeta sa calculeze fiecare element, exercitiul e anevoios si destul de inutil pentru problema noastra. Sa scriem direct ecuatia de continuitate pentru momentul cinetic

.

Divergenta actioneaza asupra primului indice al lui . Atunci, elementele care contin termeni numai cu sau apar din nou sub o forma care contine divergenta campului electric sau a celui magnetic, si acestia se anuleaza exact ca in cazul precedent. Raman numai termenii care contin densitatea de energie , iar cum aceasta depinde numai de coordonata spatiala x, singurul termen care va supravietui pana la final va fi . Cand luam divergenta, versorul orientat pe directia x dispare, iar din derivata lui in raport cu x, inmultit cu vectorul din paranteza o sa obtinem exact derivata in raport cu timpul a lui , dar cu semn schimbat. Asta inseamna ca si momentul cinetic al acestui camp electromagnetic se conserva, iar ecuatia de continuitate are o interpretare similara: momentul cinetic electromagnetic dintr-un volum dat nu poate varia decat prin transport prin suprafata care margineste volumul.

Concluzii:

Am folosit legea lui Faraday pentru a gasi componenta magnetica a unei unde electromagnetice, pornind de la campul electric cunoscut. Am gasit ca cele doua componente sunt mutual perpendiculare. Am evaluat energia undei electromagnetice si am constatat doua lucruri, anume ca se conserva si ca se propaga intr-o directie mutual perpendiculara pe cele doua campuri, deci unda este transversala. Am evaluat impulsul undei electromagnetice si am constatat ca densitatea de impuls variaza in timp in directia de propagare a undei, si ca variatia impulsului total dintr-un volum dat se face in situatia noastra prin fluxul densitatii energiei electromagnetice prin suprafata care margineste volumul. In final, am evaluat momentul cinetic al acestui camp electromagnetic, si am constatat ca si acesta se conserva.

Cunoasteti sa rezolvati acele ecuatii si numeric?

Nu ma pricep la tehnici numerice pe genul acesta de probleme, dar te pot ajuta cu literatura in domeniu daca esti interesat.

Salutare,
 Eh incercam si eu , ma descurc eu, cred ca e usor: se intorc diferentialele la definitia ei cu limita, si se alege un pas mai mare (nu infinitezimal), h=0.1 e suficient rezultand niste diferente finite, similar pentru fiecare punct, obtinandu-se in final un sistem de ecuatii simple pentru fiecare punct, cu forma matriceala A X = B. Unde B sunt conditiile la margine, A sunt coeficientii din diferente si se afla X.