Mișcarea în câmp central

Cuprins:

1. Introducere
2. Problema celor doua corpuri
3. Conservarea momentului cinetic
4. Conservarea energiei
5. Clasificarea orbitelor
6. Teorema de virial
7. Ecuatia orbitei
8. Teorema lui Bertrand
9. Miscarea in camp gravitational
10. Miscarea eliptica (partea I)
11. Miscarea eliptica (partea II)

Discutia trebuie inceputa cu o serie de precizari cu caracter general.

Scopul nostru final in mecanica este sa gasim legea de miscare, anume sa gasim evolutia pozitiei unui corp in timp. Fiecare particula este descrisa prin 3 coordonate (sau grade de libertate), corespunzatoare celor 3 axe independente x,y si z (desi putem alege si alte sisteme de coordonate, in functie de specificul problemei tratate, vom vedea la momentul oportun) deci pentru un sistem de N particule avem 3N grade de libertate pentru care trebuie sa gasim legea de miscare. De multe ori se intampla insa ca miscarea particulelor sa fie supusa unor "constrangeri", sau "legaturi". Spre exemplu, in cazul unui solid rigid distantele dintre particule trebuie sa ramana fixe. In cazul unui abac, bilele se pot misca doar de-a lungul firelor. Este important astfel sa facem distinctia intre fortele aplicate asupra sistemului si fortele de legatura, care ii constrang miscarea. Pe scurt, implicatia prezentei acestor legaturi intr-un sistem consta in restrangerea numarului de grade de libertate al sistemului. Ca un exemplu concret, o particula in camp gravitational uniform are 3 grade de libertate (pentru ca in functie de conditiile initiale date, miscarea nu este neaparat verticala) si pentru a-i descrie pozitia la un moment de timp trebuie sa spunem care sunt valorile pentru coordonatele x,y si z, dar daca  particula este constransa intr-un fel sau altul sa se miste doar pe suprafata unei sfere, tot in camp gravitational uniform, ea mai are doar 2 grade de libertate, deoarece distanta fata de centrul sferei ramane fixa si nu trebuie sa spunem decat care sunt valorile unghiului polar si azimutal pentru a-i determina pozitia.

In imaginea urmatoare, tijele care mentin distanta dintre bile fixe exercita fortele de legatura, iar gravitatia este forta aplicata. A se remarca totodata faptul ca avem doua particule, deci ne-am astepta sa avem 6 grade de libertate, dar daca tijele constrang miscarea intr-un singur plan pentru amandoua, ramanem cu doar 2 grade de libertate, descrise in imagine (pentru ca avem 4 ecuatii de legatura, anume ecuatiile care fixeaza planul pentru fiecare particula, ecuatia care fixeaza distanta primei particule de punctul fix al tijei si ecuatia care fixeaza pozitia celei de-a doua particule fata de prima):

”Un exemplu de sistem legat”:

S-a demonstrat ca pentru sistemele mecanice pentru care toate fortele aplicate (deci nu cele de legatura) sunt derivabile dintr-o functie numita potential scalar generalizat, ce are ca variabile pozitiile si vitezele particulelor si eventual timpul, dinamica poate fi descrisa dintr-un principiu diferit de legile lui Newton, anume de asa numitul principiu al lui Hamilton, rezultatele celor doua abordari fiind aceleasi. Castigul prin aceasta abordare tine odata de simplificarea tratarii formale a problemei (ajungem imediat acolo) si apoi de faptul ca poate fi extinsa si la probleme care nu sunt de natura mecanica (nu ne vom ocupa de acest aspect).

Acest principiu ne ajuta in mod concret garantand ca toata fizica sistemului este continuta intr-o functie simpla numita Lagrangian, care are urmatoarea expresie generala:

,

unde T este energia cinetica a sistemului iar V este potentialul scalar antementionat, ambele fiind in general functii de coordonatele si vitezele particulelor si putand avea si o dependenta explicita de timp (desi pentru problema noastra, situatia va fi mult simplificata).

Cam asta ar fi minimul necesar pentru a putea aborda problema, mi-a luat ceva mai mult timp decat ma asteptam redactarea mesajului, dar sper sa merite. Cand revin, voi continua, folosind uneltele descrise aici, sa tratez problema celor doua corpuri, ecuatiile lor de miscare, legile de conservare, clasificarea orbitelor si intr-un final voi explicita totul pentru campul gravitational Newtonian. In principiu, de aici incolo ne e suficienta matematica de liceu. Sper ca nu a fost prea complicat, astept orice fel de intrebari sau nelamuriri. Nu am intrat adanc in detaliile acestor notiuni pentru ca nu avem nevoie de ele, ar trebui sa fie suficient cat am vorbit aici.

Astazi vom reduce problema celor doua corpuri la o problema echivalenta, dar mai simpla din punct de vedere matematic, a unui singur corp aflat intr-un camp central.

Sa presupunem ca intr-un sistem de referinta inertial S, avem doua puncte materiale de mase , respectiv , avand razele vectoare , respectiv :

”Alegerea sistemului de referință”:

Cele doua puncte materiale satisfac conditiile mesajului anterior, anume se afla numai sub actiunea unei forte ce depinde doar de distanta dintre ele, adica potentialul scalar U este o functie numai de distanta relativa dintre cele doua puncte:

, unde .

In mecanica clasica, pentru orice sistem de puncte materiale putem defini un centru de masa, ca fiind vectorul obtinut prin medierea ponderata a razelor vectoare corespunzatoare fiecarei particule in parte, ponderea fiind in fiecare caz masa respectivei particule (a se remarca faptul ca in mecanica clasica, o particula sau un punct material sunt doua notiuni echivalente).
In cazul nostru simplu, centrul de masa devine:



In situatia de fata centrul de masa se va situa de-a lungul dreptei ce uneste cele doua puncte. Cazuri particulare interesante ar fi urmatoarele: odata , situatie in care centrul de masa se afla la jumatatea distantei dintre cele doua puncte, sau cazul in care una dintre mase este mult mai mare decat cealalta, sa zicem , situatie in care puteti verifica foarte usor ca centrul de masa se gaseste chiar in . De aceea cand intrebi un om normal cine in jurul cui se invarte in cazul sistemului Pamant-Soare, acesta este tentat sa spuna ca Pamantul se roteste in jurul Soarelui. Raspunsul nu este intru totul gresit dar nici intru totul corect, caci si Soarele este antrenat la randul sau in miscare datorita Pamantului, dar masa planetei noastre fiind infima in comparatie cu masa Soarelui, miscarea celui din urma datorita interactiei (in cazul de fata gravitationala) este mult mai mica.

Pentru primul caz, cu masele egale, situatia in camp gravitational (in conditii pe care le vom discuta mai tarziu)va fi aceasta:

”Orbitele în sistemul centrului de masă pentru două corpuri de mase egale”:

In cel de-al doilea caz, am avea insa:

”Orbitele în sistemul centrului de masă pentru două corpuri de mase foarte diferite”:

Miscarea pe care o vizualizati in aceste imagini o vom regasi si noi intr-un final, in urma acestui studiu riguros.

Sistemul nostru are 6 grade de libertate (deoarece este constituit din 2 particule, fiecare avand 3 grade de libertate) si cel mai convenabil fel de a-l descrie este folosindu-ne de centrul de masa si distanta relativa dintre particule, anume de vectorii si .In acest context, putem scrie Lagrangianul:

, unde am notat derivata in raport cu timpul in traditia lui Newton, cu un punct deasupra vectorilor. Ce spune aceasta expresie este ca energia cinetica depinde de viteza cu care se misca centrul de masa si de viteza cu care variaza distanta relativa dintre particule, iar ca energia potentiala (sau potentialul scalar) depinde, asa cum am mentionat deja, doar de distanta relativa dintre particule.

O teorema a mecanicii clasice spune ca pentru un sistem de particule energia cinetica se separa in doi termeni, unul ce tine de energia cinetica a centrului de masa si altul datorat miscarii particulelor relativ la centrul de masa, anume:

, unde suma dintre ultimii doi termeni poate fi desemnata prin simbolul .

Vectorii notati cu prim sunt vitezele cu care variaza vectorii de pozitie ai particulelor relativ la pozitia centrului de masa. Vectorii de pozitie propriu-zisi au expresiile:





Cu aceste rezultate gasim usor ca (derivata in raport cu timpul afecteaza numai componentele vectorilor, nu si masele particulelor):



Cu asta, Lagrangianul devine:



A se remarca faptul ca in formula de mai sus nu apar explicit coordonatele centrului de masa ci doar vitezele cu care acestea variaza. In general, cand intr-un Lagrangian apare explicit doar viteza asociata unei coordonate si nu coordonata propriu-zisa, acea coordonata se numeste coordonata ciclica si variatia ei in timp este rectilinie si uniforma. Cu alte cuvinte, in sistemul S, centrul de masa al celor doua particule fie este in repaus fie se deplaseaza cu viteza constanta in linie dreapta. In aceste conditii fizica sistemului este aceeasi daca il analizam direct din sistemul centrului de masa, ceea ce este echivalent cu a trece in sistemul de referinta ce are originea , unde Lagrangianul este:



Ce am obtinut intr-un final? Lagrangianul de mai sus descrie interactia unei singure particule, aflata la distanta de un centru de forta, masa ei fiind . Am reusit astfel sa simplificam foarte mult problema din punct de vedere formal, lucru ce se va vedea in mesajele urmatoare, cand vom analiza consecintele legilor de conservare asupra miscarii, clasificarea orbitelor si miscarea in camp gravitational.

Sper ca a fost un mesaj clar, coerent si simplu. Pentru absolut orice intrebari puteti scrie aici sau trimite un mesaj privat. Recomandarea mea ar fi sa luati o hartie si un creion si sa faci singuri calculele foarte simple prezentate aici, ca sa fiti siguri ca ati inteles rationamentul. Puteti verifica acele cazuri particulare privitoare la pozitia centrului de masa, puteti calcula coordonatele particulelor in sistemul centrului de masa si gasi forma Lagrangianului in acest sistem. Daca nu reusiti, nu ezitati sa ma contactati, caci singurul lucru important aici este sa reusim sa comunicam idei, sa intelegem si sa discutam.

Acum ca problema a fost definita riguros din punct de vedere formal, ii putem cauta solutia generala si invariantii, anume acele cantitati asociate miscarii ce se conserva in timp. Retineti, cel mai important rezultat obtinut pana acum este cel legat de reducerea problemei a doua corpuri aflate in interactie mutuala la problema unei singure particule ce se deplaseaza intr-un camp de forte. Astazi vom studia momentul cinetic.

Din moment ce potentialul din care forta este derivata depinde numai de distanta dintre particula si originea campului, problema are simetrie sferica. Solutia nu se schimba oricat am roti sistemul, in jurul oricarei axe. In acest context este util de precizat un rezultat general al mecanicii clasice, care ne va fi foarte util in cautarea invariantilor. Atunci cand sistemul nu este afectat de o variatie a unei coordonate, impulsul generalizat asociat acelei coordonate se conserva. Spre exemplul, in cazul unei invariante la translatii pe o directie data, componenta impulsului liniar paralela cu acea directie este constanta in timp. In acelasi fel, in cazul unei invariante la rotatii in jurul unei axe, componenta momentului cinetic paralela cu respectiva axa de rotatie este constanta in timp. In cazul in care vorbim de simetrie sferica, rezulta imediat ca toate cele trei componente ale momentul cinetic , se conserva, deci momentul cinetic are o directie fixa in spatiu (este important sa remarcati caracterul relativ al acestei afirmatii; directia este fixa fata de sistemul de referinta din care facem observatiile, dar cele doua unghiuri care caracterizeaza o directie intr-un sistem de coordonate pot varia de la un sistem la altul, in functie de orientarea acestuia). De aici, rezulta ca vectorul de pozitie al particulei, , se afla mereu in planul a carei normala este paralela cu . Va puteti pune urmatoarea intrebare: ce se intampla daca ? In acest caz, traiectoria descrisa de particula ar fi o linie dreapta ce trece prin centrul de forta, deoarece, din definitia momentului cinetic, vedem ca acesta se anuleaza in general (exceptand situatia in care vectorul de pozitie sau impulsul sunt nuli) doar in situatia in care cei doi vectori sunt paraleli, lucru ce se intampla doar in miscarea rectilinie. Demonstratia acestei afirmatii este foarte simpla:

, pentru ca derivata, fiind un operator liniar, actioneaza mai intai asupra modului vectorului si apoi asupra versorului. Din geometria diferentiala stim ca , unde este unghiul polar din planul in care are loc miscarea (intr-un plan dat putem fixa mai multe sisteme de coordonate; putem lucra in coordonate carteziene dar in cazul de fata sunt mai utile coordonatele polare, date de raza vectoare si unghiul polar) si inlocuind acest rezultat in prima expresie, gasim ca (adica cei doi vectori sunt paraleli) doar daca , deci doar daca traiectoria nu se curbeaza, deoarece produsul vectorial dintre versorul radial si cel polar este mereu nenul si perpendicular pe plan.

O diagrama ilustrativa a sistemelor de coordonate:

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/7/78/Polar_to_cartesian.svg

Si o alta diagrama din care se poate vedea relatia dintre versori:

”rotatia unui sistem de coordonate si versorii polari”:

In coordonate sferice, miscarea unei particule in spatiu este descrisa de distanta radiala , azimutul (pe wikipedia notat cu simbolul alternativ pentru ) si zenitul (notat pe wikipedia cu ). Daca orientam sistemul de coordonate astfel incat axa polara sa fie paralela cu , atunci, miscarea avand mereu loc doar in planul normal la axa polara, zenitul are valoarea constanta si poate fi eliminat din restul discutiei. Putem sa remarcam acum urmatorul lucru: orientarea fixa a momentului cinetic in spatiu impune fixarea a doar doua componente, anume componentele carteziene din planul normal la directia fixa. Inca avem la dispozitie a treia componenta (ce fixeaza impreuna cu celelalte modulul) pentru a o folosi in determinarea solutiei.

Acum ar fi momentul sa scriem forma explicita a Lagrangianului problemei, care, dupa cum am demonstrat, este asociat unei miscari plane. Pornim de aici:



Energia cinetica, dupa cum bine stiti, are expresia:



Viteza trebuie scrisa la randul ei in coordonate polare. Ca sa facem asta, scriem coordonatele carteziene ale problemei in functie de coordonatele polare si derivam in raport cu timpul:





Puteti verifica usor ca ridicand fiecare expresie la patrat si sumand, obtinem:



Astfel:



In general (adevarul e ca exista si expresii mai generale ca aceasta, in cazul unor probleme mai complexe), ecuatiile Lagrange, care sunt ecuatiile de miscare ale caror solutii sunt legile de miscare ale problemei respective, au forma:

, unde sunt coordonatele si vitezele ce intra in expresia Lagrangianului. In cazul nostru coordonatele sunt si vitezele conjugate sunt . Sa nu va sperie semnul de derivata partiala. Pur si simplu cosiderati toate celelalte variabile ca fiind fixate si derivati dupa regulile obisnuite. Observati totodata ca nu apare explicit in Lagrangian, adica si ecuatia devine:



Definitia unui impuls generalizat asociat unei coordonate este tocmai: , deci facand derivata in mod explicit pentru unghiul polar si folosind rezultatul de mai sus gasim ca:

este un invariant al miscarii, egal tocmai cu modulul momentului cinetic. A se remarca faptul ca invarianta in timp nu este viteza unghiulara, ci produsul dintre viteza unghiulara si patratul distantei radiale este constant la orice moment de timp.

In final, putem pune acest rezultat intr-o forma familiara. Din moment ce , masa fiind oricum constanta, putem la fel de bine scrie , marimea din paranteza fiind chiar viteza areolara.

”figura ajutatoare”:

Cum aria unui triunghi este jumatate din produsul dintre baza si inaltime, aria maturata in unitatea de timp este, din figura:

si aceasta marime, asa cum am demonstrat mai sus, este constanta.

Astfel, conservarea momentului cinetic implica valoarea constanta a vitezei areolare. Cand particula este mai departe de centrul de masa se deplaseaza mai incet, iar cand este mai aproape se deplaseaza mai repede, pentru a matura arii egale in perioade egale. Asta este chiar legea a doua a lui Kepler privitoare la miscarea planetelor, dar observati ca inca nu am adus gravitatia in discutie. Constanta vitezei areolare este o caracteristica a oricarui camp central.

o ilustratie a acestui rezultat, pentru campul gravitational:

”ilustrare grafica”:

Data viitoare ne vom ocupa de cealalta ecuatie Lagrange, pentru distanta radiala si vom vedea daca energia sistemului este un invariant sau nu. Din nou, va invit sa faceti aceste calcule simple pentru a fi convinsi ca ati inteles pasii si sa puneti orice fel de intrebari, daca sunt neclaritati.

Pana in momentul de fata avem doua rezultate importante:

1. Miscare a doua corpuri supuse unei interactii mutuale ce depinde numai de distanta dintre ele se poate reduce formal la miscarea unui singur corp intr-un camp central de forte, acesta din urma fiind un sistem fictiv din care pot fi extrase raspunsuri pentru problema reala.

2. Am gasit ca pentru un astfel de sistem momentul cinetic este un invariant al miscarii, conservarea acestuia fiind echivalenta cu constanta vitezei areolare: raza vectoare matura arii egale in perioade egale, afirmatie cunoscuta si ca a doua lege a lui Kepler.

In acest mesaj vom analiza cealalta ecuatie Lagrange si vom verifica riguros conservarea energiei.

Am gasit anterior ca Lagrangianul problemei are expresia



Ecuatia Lagrange pentru variabila polara s-a dovedit a fi si prin aceeasi procedura prin care a fost obtinuta, vedem ca ecuatia pentru variabila radiala este

, unde cele doua puncte de deasupra lui r semnifica o derivata in raport cu timpul de ordinul doi, deci pana la urma reprezinta acceleratia radiala.

Stim ca forta care se manifesta este chiar si este orientata radial, caci de la aceasta ipoteza am pornit de la bun inceput, asa ca notand aceasta marime cu putem rescrie ecuatia mai simplu ca



Viteza unghiulara poate fi eliminata, caci cunoastem deja solutia ecuatiei variabilei polare din mesajul anterior, anume stim ca , de unde gasim forma finala a ecuatiei radiale



Cum o putem interpreta? Eu as spune ca daca mutam al doilea termen din membrul stang in membrul drept, o putem citi ca masa ori acceleratia radiala egal forta radiala plus forta centrifugala, deci n-am facut decat sa regasim esenta legii a doua a lui Newton, printr-o metoda mai generala insa!

Ce putem spune despre energia totala? Dupa cum stiti, intr-un camp central lucrul mecanic efectuat pentru a plimba un corp de proba intre doua puncte este independent de drumul ales, astfel ca mergand de la A la B (intr-un sens sau altul fata de camp) si apoi de la B la A, bilantul energetic este nul, caci tot atata energie cata am cheltuit/castigat intr-un sens am castigat/cheltuit in sens opus, deci am putea scrie imediat ca energia totala se conserva, anume

, dar putem deduce acest rezultat din ecuatiile Lagrange!

Putem rescrie ecuatia radiala in felul urmator:

, si va rog sa verificati (se face imediat) ca derivarea din membrul drept ne da exact forta radiala adunata cu forta centrifugala.

Inmultim acum ambii membri ai ecuatiei cu si ii analizam pe fiecare in parte. Primul este dat de



Membrul drept poate fi vazut ca derivata in raport cu r a unei functii , ori daca o inmultim cu derivata in raport cu timpul a lui r, obtinem chiar derivata totala in raport cu timpul a lui g, conform regulii de derivare in lant pe care o stiti din liceu, anume , si rezultatul final este

, sau la fel de bine

, de unde reiese imediat ca

, ceea ce este chiar legea conservarii energiei, in care putem scrie, daca dorim, momentul cinetic in functie de viteza unghiulara pentru a obtine chiar expresia pe care am propus-o de la bun inceput.

Din punct de vedere formal, suntem foarte aproape de anihilarea problemei. Din legea de conservare a energiei extragem viteza radiala

, si mai departe dat fiind ca , avem



Daca vom considera ca la momentul initial t=0 distanta radiala era , putem integra in stanga de la 0 la t si in dreapta de la la r:



Gasim astfel timpul ca functie de cordonata radiala si de constantele de miscare E, l si pozitia initiala. In principiu, rezultatul obtinut poate fi inversat, ca sa obtinem ceea ce dorim, anume r ca functie de t si de cele trei constante. Odata ce stim solutia pentru r, ne ocupam de variabila polara, a carei ecuatie, prin acelasi procedeu ca pentru r, se scrie

, iar daca vom considera ca la momentul initial t=0, unghiul polar avea valoarea , integram in stanga de la la si in dreapta de la 0 la t, obtinand

, unde am precizat ca sub integrala r este dat de expresia sa ca functie de timp.

Odata ce aceste integrale sunt explicitate, problema miscarii a doua corpuri sub o interactie mutuala, dependenta numai de distanta dintre ele a fost complet rezolvata, daca sunt specificate coordonatele initiale, energia totala a sistemului si momentul sau cinetic. Alte constante puteau fi alese, puteam alege pozitiile si vitezele initiale si sa rezolvam problema in functie de acestea, dar un exista un motiv profund pentru care am ales sa nu procedam asa. In mecanica cuantica valorile initiale pentru pozitii sau viteze isi pierd sensul, dar energia sau momentul cinetic al sistemului nu. De aceea, pentru a facilita tranzitia la teorii cuantice (putem discuta aceasta problema si acolo!) este bine sa ne obisnuim de pe acum sa discutam in termeni de energie si moment cinetic.

Formal suntem gata, dar suntem in situatia proverbului cu targul si casa, caci integralele pe care le-am tot "rezolvat" sunt foarte, foarte greu de facut in cele mai multe cazui concrete. Despre cum putem trece peste acest impediment voi discuta in mesajele urmatoare, urmatorul pas fiind sa vedem ce detalii putem afla despre miscare, folosind ecuatiile si legile de conservare, fara a le rezolva explicit. Astept intrebari, critici si comentarii aici sau in comunicari private.

In acest mesaj vom vedea cat de valoroase sunt rezultatele obtinute anterior pentru a intelege calitativ natura miscarii. Pentru inceput, sa ne reamintim ca ecuatia radiala, cu viteza unghiulara exprimata in functie de momentul cinetic, este



Putem face un exercitiu de imaginatie suplimentar, pornind de la remarca pe care am facut-o in mesajul anterior cu privire la interpretarea acestei ecuatii, si sa ne gandim ca avem de a face cu o miscare unidimensionala a unei particule de masa m supusa fortei

, unde este clara semnificatia de forta centrifugala a celui de-al doilea termen, din observatia simpla



Acelasi lucru il putem remarca si din legea de conservare a energiei, anume din

, imaginandu-ne un potential fictiv

, conservarea energiei devenind

Ca un mic exercitiu, va rog sa verificati consistenta celor doua afirmatii, anume sa verificati faptul ca intr-adevar .

Sa trecem acum la un caz concret. Fie forta f atractiva si invers proportionala cu patratul distantei (precum forta gravitationala), deci avand expresia

, unde este o constanta.

Energia potentiala din care este derivata aceasta forta este evident

, iar potentialul fictiv (sau efectiv, cum mai este numit in unele lucrari) din care rezulta forta este



Sa reprezentam acum grafic potentialul fictiv V' in functie de r. Imaginea ar fi urmatoarea:

”potentialul efectiv”:

Componentele cu linie punctata reprezinta termenul centrifugal al potentialului fictiv, respectiv termenul atractiv, iar linia continua reprezinta suma lor. A se remarca faptul ca ambele sunt divergente aproape de origine, dar in sensuri diferite, si converg la 0 la infinit. Faptul ca potentialul efectiv diverge spre infinit in vecinatatea originii tine de faptul ca termenul dominant este cel centrifugal, inversul patratului crescand mult mai repede decat scade inversul puterii unitate. Cu linii orizontale sunt reprezentate 4 energii totale (deci difera unele de altele prin energia cinetica a particulei, cea potentiala fiind aceeasi) si vom analiza miscarea pentru fiecare caz in parte.

Sa detaliem pentru inceput cazul energiei . Graficul ar fi acesta

”Cazul unei energii pozitive”:

dar contine o greseala de tiparire, pe care va rog pe voi sa o gasiti (o voi mentiona imediat, in orice caz, fara sa spun ca in grafic este trecuta gresit).

In mod evident, particula nu va putea apropia niciodata la o distanta mai mica de de origine, deoarece in aceasta situatie, energia potentiala ar fi mai mare decat energia totala, lucru ce ar insemna ca avem o energie cinetica negativa, deci o viteza imaginara. Pe de alta parte, limita superioara nu exista, orbita fiind nemarginita. Astfel, scenariul este urmatorul: particula vine de la infinit, este respinsa de bariera centrifugala si aruncata inapoi spre infinit, ca in imaginea urmatoare

”Drumul lung, de la infinit si inapoi”:

La orice distanta r, diferenta dintre E si V' este data de , deci este proportionala cu patratul vitezei radiale si este 0 la punctul de intoarcere . In acelasi timp, distanta dintre E si V (doar potentialul atractiv) in orice punct este data de energia cinetica totala, iar din cele doua reiese imediat ca distanta dintre V si V' este in fiecare punct data de termenul de energie cinetica ce contine viteza unghiulara, anume de . Cu alte cuvinte, daca stim aceste curbe, energia si momentul cinetic, stim care este viteza totala a particulei (in modul) in fiecare punct, si ii cunoastem si componentele, anume viteza radiala respectiv cea unghiulara, iar aceste informatii sunt suficiente pentru a construi o imagine a orbitei.

Pentru energia , obtiem o imagine aproape identica cu cea pe care am discutat-o deja, dar situatia se schimba in momentul in care trecem la energii negative. Sa luam situatia urmatoare, cu

”Cazul unei energii negative”:

In acest caz, vedem ca orbita este marginita in ambele sensuri, intre cele doua puncte de intoarcere, care cred ca se numesc distante apsidale in limba romana, desi s-ar putea sa gresesc. Atentie, acest lucru nu inseamna ca orbita este inchisa, ci numai ca este marginita, adica numai ca este continuta intre doua cercuri, de raze si , fara sa fie obligatoriu ca particula sa isi "calce pe urme", dupa cum puteti vedea aici

”Orbita marginita”:

Daca energia are valoarea minima posibila a potentialului fictiv V', sub care nu poate scadea din acelasi argument al vitezei imaginare, atunci marginile orbitei coincid, viteza radiala este nula si orbita este un cerc

”orbita circulara”:

Conditia de circularitate implica pur si simplu ca forta fictiva f' sa fie nula, ceea ce inseamna ca forta atractiva f trebuie sa fie data de , cu alte cuvinte, dupa cum poate va amintiti din liceu, forta aplicata trebuie sa fie egala in modul cu forta centrifuga.

Parametrul fixat in toata aceasta discutie a fost momentul cinetic. O variatie a acestuia va modifica detaliile calitative ale potentialului, dar nu va schimba clasificarea generala pe care am facut-o aici. Vom vedea ulterior ca in ordinea in care au fost trecute pe primul grafic, energiile in cazul fortei gravitationale corespund unei hiperbole, unei parabole, unei elipse si unui cerc.

Aceste idei raman valabile pentru orice potential, atata timp cat la infinit converge la 0 mai lent ca inversul patratului distantei (adica potentialul real domina peste termenul centrifugal la distante mari) si cat timp diverge in origine mai lent ca inversul patratului distantei, astfel ca termenul centrifugal este cel dominant la distante mici. Chiar daca aceste conditii nu sunt indeplinite, tot putem trage concluzii generale cu privire la natura miscarii din grafice. Spre exemplu, sa consideram pe scurt cazul urmator

cu

Graficul este acesta

”un alt fel de potential”:

Vedem ca la o energie E avem doua posibilitati, in functie de valoarea initiala a lui r. Daca , orbita este marginita, particula este captiva intr-un cerc de raza si trece chiar prin originea campului de forte. In celalalt caz, in care , miscarea este nemarginita si particula nu va strapunge niciodata mai aproape de . Situatia intermediara celor doua puncte extreme nu este fizic posibila, din aceleasi argumente ca si pana acum.

Sper ca a fost un raspuns destul de simplu la intrebarea "de ce nu sunt orbitele circulare?". Seria va continua probabil cu un mesaj ceva mai scurt, in care voi discuta cateva rezultante fascinante precum teorema lui Bertrand, teorema de virial si ecuatia orbitei, dupa care vom rezolva riguros problema lui Kepler pentru campul gravitational. Nelamuriri, intrebari, sugetii, aici sau cu mesageria privata.

Astazi vom discuta despre un rezultat foarte general, aplicabil multor sisteme fizice: teorema de virial. Este un rezultat diferit de cele deduse pana acum, anume este un rezultat statistic, legat de valoarea medie in timp a diverselor cantitati de interes din mecanica. Incepem prin a considera un sistem de puncte materiale avand vectorii de pozitie si asupra carora actioneaza fortele , unde luam in considerare atat fortele aplicate cat si cele de legatura, distinctia dintre cele doua fiind discutata la inceputul expunerii. Astfel, ecuatiile de miscare pentru particulele sistemului sunt



iar cantitatea care ne intereseaza este

, unde sumarea se face peste toate particulele sistemului.

Sa efectuam derivata totala in raport cu timpul, ce actioneaza liniar, mai intai asupra vectorilor de pozitie si apoi asupra impulsurilor:



Vedeti ca prima suma se face practic peste produsul scalar dintre viteza si impulsul fiecarei particule, pe cand a doua suma se face peste produsul scalar dintre forta aplicata fiecarei particule si vectorul ei de pozitie. Daca transpunem aceste remarci din limbajul vorbit in cel matematic, si folosim expresia impulsului pentru o particula de masa constanta, anume , gasim ca primul termen este

, adica dublul energiei cinetice a sistemului,

pe cand al doilea este pur si simplu



Astfel, derivata noastra a devenit



Acum urmeaza un pas mai delicat, deci fiti atenti. Ca sa obtin media peste un interval temporal a expresiei de mai sus, trebuie sa integram in ambii membri peste timp de la 0 la , dupa care sa impartim totul la :

, unde am notat formal operatia explicita de mediere cu bara orizontala, iar in pasul intermediar am specificat ca prin definitie vorbesc de media temporala a derivatei in raport cu timpul a functiei G, adica pana la urma de "viteza medie" de variatie a lui G.

Dupa cum bine stiti din liceu, integrala derivatei unei functii efectuate in raport cu variabila fata de care derivez este chiar integrala din functie peste unitate. Alt mod, poate mai simplu de a spune asta, este ca in membrul stang diferentialele dt in raport cu timpul se simplifica, si raman cu integrala din dG peste functia constanta 1. In orice caz, daca aveti un manual de liceu la indemana puteti sa vedeti ca

, afirmatie ce ar trebui sa fie chiar un caz particular al teoremei Leibniz-Newton.

Rezultatul pe care l-am obtinut este



Se observa ca daca miscarea este periodica, adica daca sistemul revine la configuratia initiala dupa un timp dat, si alegem sa fie egal cu perioada, membrul drept dispare. Chiar daca miscarea nu este periodica, ci doar marginita, putem lasa sa se scurga oricat de mult timp dorim, astfel ca membrul drept sa devina oricat de mic, tinzand la 0 in limita timpului infinit, iar in ambele cazuri concluzia este aceeasi:



Aceasta este teorema de virial, iar membrul drept se numeste virialul lui Clausius.

Inainte de a reveni la miscarea in camp central, sa facem o mica excursie in teoria cinetica a gazelor. Urmeaza sa vedem ca daca presupunem ca atomii exista si folosim teorema de virial, putem deduce pe calea ratiunii ecuatia de stare a gazului ideal, rezultat ce a fost constatat empiric cu mult inainte de a exista o explicatie a sa. Sa presupunem deci ca avem un gaz alcatuit din N atomi intr-o incinta de volum V, la temperatura absoluta T (sa nu o confundati cu energia cinetica!). In cadrul teoriei cinetice a gazelor marele Boltzmann a dedus teorema de echipartitie a energiei, anume ca energia cinetica medie a fiecarui atom din gaz este egala cu , fiind constanta lui Boltzmann, aceasta relatie servind pana la urma ca o definitie cinetica a temperaturii (constructia riguroasa a temperaturii absolute este foarte interesanta, dar destul de dificila, si nu ne e necesara in discutia de fata). Intr-o formula mica de tot, toate aceste cuvinte spun:

, unde va trebui sa retineti (din pacate, acestea sunt simbolurile consacrate), ca in stanga T se refera la energie cinetica iar in dreapta la temperatura absoluta.

Asa cum am mentionat de la bun inceput in deducerea teoremei de virial, luam in considerare atat fortele aplicate cat si cele de legatura, in cazul nostru fortele aplicate fiind fortele de interactie dintre atomi, iar cele de legatura fiind date de interactia atomilor cu peretii incintei. Pentru un gaz ideal, interactia dintre atomi are o contributie neglijabila la virial. Fizic, acesta situatie ar corespunde unui gaz rarefiat, in care ciocnirile dintre atomi au loc mult mai rar decat ciocnirile acestora cu peretii. Mai mult, fortele de legatura nu sunt simtite decat atunci cand atomii lovesc peretii, ele nu sunt altceva decat reactia acestora la presiunea gazului si deci local pot fi scrise in felul urmator:



Aceasta formula spune ca un element de forta resimtit de un atom poate fi scris ca produsul dintre presiunea P si un element de suprafata dA al peretelui si este orientata pe aceeasi directie cu normala la elementul de suprafata, dar in sens invers fata de aceasta (un element de suprafata ni-l putem imagina ca un vector avand modulul egal cu aria suprafetei si orientat perpendicular la suprafata). Normala este indreptata conventional spre exteriorul incintei, astfel ca forta va fi orientata spre interior, tinand atomii inauntru.

In aceste conditii, suma din membrul drept al teoremei de virial poate fi inlocuita sub medie cu o integrala peste suprafata incintei, adica (atentie la schimbarea de semn):



Mai avem nevoie de un singur rezultat, care s-ar putea sa nu fie insa la fel de familiar pentru toata lumea. Avem nevoie de teorema lui Gauss, care spune ca fluxul unui camp vectorial printr-o suprafata inchisa , adica integrala peste suprafata a campului , este egal cu divergenta campului integrata peste volumul marginit de suprafata, anume egal cu integrala .

Fara sa intram in prea mult detalii de analiza vectoriala, este suficient sa stim sa scriem actiunea operatorului de divergenta asupra unei functii vectoriale in coordonate carteziene



si sa remarcam ca trebuie sa il aplicam pe un camp vectorial foarte simplu, anume campul vectorilor de pozitie



Se verifica extrem de usor ca si astfel am obtinut



Folosind expresia in termeni de temperatura a energiei cinetice medii si acest rezultat, teorema de virial spune, dupa simplificarea factorului de :

, ori asta nu este decat ecuatia de stare a gazului ideal! Iata cum rezultate generale de matematica pura, combinate cu presupunerea ca materia este alcatuita din atomi, ne conduc la un rezultat observat in natura! Aceasta simpla ecuatie de stare nu mai este valabila cand exista interactii puternice intre constituentii gazului. La temperaturi foarte joase teoria clasica sufera un colaps total in orice incercare de a mai descrie gazul si trebuie sa venim cu unelte mai performante si idei noi pentru a intelege comportamentul naturii.

Sa revenim acum la miscarea in camp central. Daca fortele sunt derivabile dintr-un potential, teorema de virial devine

, unde am folosit formula

Pentru particula noastra fictiva intr-un camp central de forte, teorema arata mai simplu:

, unde am tinut cont de faptul ca forta este paralela la directia radiala.

Pentru un potential ce depinde de o putere a lui r, de forma , unde a este o constanta, nu trebuie decat sa faceti o derivata foarte simpla ca sa obtineti ca si ca



Pentru campul gravitational, n trebuie sa fie egal cu -2, si rezultatul final, foarte interesant este:

, deci in medie energia cinetica este egala pana la semn cu jumatate din energia potentiala.

Ca o ultima mentiune, de data aceasta fara demonstratie, se poate arata ca daca fortele pot fi descompuse intr-o parte aplicata nedisipativa, si forte de frecare proportionale cu viteza, acestea din urma nu contribuie la virial, dar energia se pierde in continuare din sistem datorita lor, si trebuie aprovizionata din exterior pentru ca miscarea sa nu inceteze, caci intr-un timp infinit de lung, in aceste conditii, toate mediile s-ar anula. Daca este cineva interesat de aceasta demonstratie, il rog sa ma anunte, s-ar putea sa o am scrisa pe hartii pierdute prin sertare. Ma gandesc in special la Abel, care a ridicat o chestiune foarte interesanta la care eu unul nu pot decat sa recunosc faptul ca nu stiu a raspunde. Planetele nu au cum sa piarda energie datorita campului gravitational, deoarece acesta este conservativ. Daca exista alti factori, care se balanseaza intr-o asemenea masura incat sa mentina miscarea stabila, sau disiparea este atat de lenta incat este practic neobservata de miliarde de ani, ramane de discutat.

Data viitoare vom elimina timpul din ecuatiie de miscare gasite pentru miscarea in camp central, si vom obtine o unica ecuatie a orbitei.

Pana in momentul de fata am gasit formal solutiile ecuatiilor de miscare ca functii de timp, de conditiile initiale si de doi invarianti ai sistemului, anume momentul cinetic si energia , adica stim solutiile

si

Ne propunem astazi se eliminam dependenta temporala pentru a obtine ecuatia orbitei, anume dependenta lui de . Din fericire, in cazul fortelor centrale aceasta eliminare se face deosebit de simplu, pornind de la ecuatia pentru variabla unghiulara:



De aici rezulta imediat ca relatia dintre operatorul de diferentiere (sau derivare) temporala si cel de diferentiere unghiulara este pur si simplu



Inlocuirea o facem in ecuatia pe care am gasit-o a corespunde cu legea a doua a dinamicii pentru componenta radiala, anume in

, unde am facut in plus niste simplificari evidente si am scris forta in functie de potential.

Mai departe, facem schimbarea de variabila , adica:

, unde la pasul doi am diferentiat expresia in raport cu cele doua variabile si apoi am rezolvat pentru derivata in raport cu r, tinand cont de expresia lui r in functie de u. Revenim acum in ecuatie,

, iar cum , tot prin regula de derivare in lant, rezultatul dupa simplificare si schimbarea de semn este:



Aceasta ecuatie spune un lucru foarte interesant, anume ca orbita este simetrica fata de punctele de intoarcere. Imaginati-va ca particula a trasat portiunea de orbita dintre cele doua puncte, si fixati un plan perpendiular pe planul orbitei ce contine punctele de intoarcere. Atunci, daca orbita este simetrica, pentru a obtine portiunea ce inca nu a fost parcursa ar fi suficient sa "reflectez" orbita fata de acel plan, ca intr-o oglinda. Daca alegem sistemul de coordonate in asa fel incat punctul de intoarcere sa corespunda chiar unghiului , atunci operatia de reflexie se poate efectua prin substitutia , ce ar corespunde unei rotatii in sens invers fata de acel punct, ori ecuatia pe care am gasit-o mai sus este clar invarianta la aceasta transformare, deoarece variabila apare numai in derivata de ordinul doi, si schimbarea dubla de semn nu schimba nimic. De fapt, aceasta reflexie poate fi facuta in pasi si mai marunti. Oricat de mica ar fi distanta parcursa dincolo de un punct de intoarcere, pot intotdeauna s-o reflectez in sens opus.

Daca revenim la si substiuim diferentiala dupa timp cu diferentiala dupa variabila unghiulara, gasim imediat



Integram de la pozitia initiala la punctul si avem, dupa cateva mici rearanjamente evidente



iar daca in fine facem si schimbarea de variabila , prin artificii foarte asemanatoare cu ce am facut pentru ecuatia orbitei, avem rezultatul final

, unde singura schimbare arbitrara a fost facuta pentru limitele de integrare, pe care le-am trecut in si , ca fiind cele ce corespund capetelor in variabila .

Asta este solutia problemei noastre, ecuatia de mai sus descrie orbita parcursa de o particula intr-un potential dat, dar se ridica intrebarea, in ce conditii poate integrala sa fie rezolvata analitic? Numeric nu exista nici o problema, atata vreme cat nu vorbim de un potential patologic, cu singularitati foarte puternice, un calculator integreaza orice, dar vrem sa stim totusi ce solutii sunt accesibile hartiei si creionului. Cea mai importanta clasa de astfel de solutii este data de potentiale de forma

, unde a este o constanta, astfel ca forta variaza ca puterea n a lui r.

Evident n nu poate lua valoarea -1, deoarece corespunde unui potential constant (al carui gradient este nul, deci asupra sistemului nu actioneaza nici o forta), iar fortele centrale nu descresc precum , deoarece acest comportament rezulta dintr-un potential logaritmic. Genul acesta de potentiale se intalnesc in electrodinamica, potentialul generat de o linie de sarcina electrica (imaginati-va un fir subtire, incarcat), avand aceasta forma.

In orice caz, introducand aceasta expresie generala in integrala noastra, rezultatul este

, unde am tinut cont de relatia intre u si r.

Solutii pot fi exprimate cu ajutorul functiilor trigonometrice simple pentru



si mai exista variante solvabile analitic, de data asta cu ajutorul integralelor eliptice pentru

, deci iata totusi ca avem de unde alege.

Acestia sunt singurii exponenti intregi pentru care se pot gasi solutii simple. Exista si exponenti fractionari ce conduc la integrale eliptice si, daca orice altceva da gres, ne putem baza pe functia hipergeometrica, dar nu este un obiect cu care sa se umble usor. In particular, solutiile exprimate cu ajutorul functiilor trigonometrice si al integralelor eliptice rezulta tot din solutia generala data de functia hipergeometrica. Functia asta (descoperita de Gauss) e mama intregului atlas zoologic din analiza functionala.

Data viitoare vom discuta, fara demonstratie (deoarece este extrem de anevoioasa, eu am gasit-o intr-o singura anexa intr-o carte veche de mecanica), despre una dintre cele mai profunde teoreme din mecanica cereasca, anume teorema lui Bertrand, care ne va spune pentru ce potentiale exista orbite inchise, deci orbite pentru care particula, dupa un anumit timp, se va intoarce exact in punctul din care a plecat. Inainte sa sariti iar cu elicele, va reamintesc faptul ca discut problema in sistemul centrului de masa. Dupa aceea vom ataca in sfarsit problema lui Kepler, vazand ce spun toate aceste rezultate in cazul campului gravitational Newtonian.

Ca de obicei, astept toate intrebarile, remarcile, criticile si comentariile aici sau in mesageria privata.

In mesajul de azi discutam un ultim rezultat inainte sa trecem la integrarea ecuatiei orbitei pentru campul gravitational, anume teorema lui Bertrand, descoperita de matematicianul francez Joseph Louis Francois Bertrand in 1873. Acum am aflat si eu de pe wikipedia ca omul nu a fost (cum imi imaginam) un astronom ci un matematician de succes, care si-a lasat amprenta pe domenii diverse precum teoria numerelor, teoria probabilitatilor, geometria diferentiala dar a avut contributii chiar si in economie si termodinamica.

Astazi insa, in mod exceptional, nu voi expune toate detaliile demonstratiei acestei teoreme foarte frumoase deoarece sunt destul de greoaie, aride, si pana la urma neinteresante. Din pacate se mai intalnesc genul acesta de situatii in stiinta, cand in spatele unor rezultate de mare eleganta si frumusete se ascund socoteli deloc atragatoare, cum se mai intampla ca din parinti urati sa iasa copii superbi.

O orbita inchisa intalnim in situatia in care particula, dupa un anumit timp, se reintoarce in punctul pe care l-am considerat ca pozitie initiala, de coordonate , iar intrebarea care se pune este: ce fel de potential atractiv poate genera asemenea orbite? Cand am discutat despre clasificarea orbitelor am vazut ca pentru orice moment cinetic , orbita este circulara daca potentialul efectiv are un punct de extrem (nu trebuie sa fie doar minim, poate sa fie si maxim, vom vedea imediat de ce!) la distanta , iar energia sistemului este egala chiar cu valoarea potentialului in acel punct. Existenta punctului de extrem al potentialului efectiv implica anularea fortei efective la acea raza, lucru ce conduce, asa cum am vazut deja, la conditia:

, care ne spune ca forta trebuie sa fie atractiva pentru ca orbite circulare sa poata exista. In plus, cum deja am spus, valoarea energiei totale trebuie sa fie egala cu valoarea potentialului efectiv in acel punct, deci avem

, unde va reamintesc faptul ca am definit potentialul efectiv ca fiind suma dintre potentialul "real" al campului de forte si termenul centrifugal.
Stim ca expresia generala a energiei totale contine si un termen cinetic, de forma , ori comparand cu expresia de mai sus vedem ca pentru o orbita circulara, viteza radiala trebuie sa se anuleze, lucru de altfel, de domeniul evidentei. Cele doua formule scrise mai sus pot fi citite si invers, anume putem spune ca orice camp atractiv central poate produce orbite circulare, cu conditia ca la raza cercului, momentul cinetic si energia sa fie date de cele doua expresii.

Caracterul orbitei circulare tine insa de natura punctului de extrem. Daca vorbim de un minim, atunci urcand putin valoarea energiei, orbita va devia de la circularitate, dar miscarea va ramane legata, pe cand in cazul unui punct de maxim, crescand energia putin, particula poate scapa cu totul din campul de forte, dupa cum se poate vedea in imaginile pe care le-am postat in mesajele anterioare. Spunem ca pentru un punct de minim, orbita este stabila, pe cand pentru un punct de maxim, ea este instabila. Cum caracterul unui punct de extrem al unei functii este dat de semnul derivatei de ordinul 2 a functiei in acel punct, acelasi lucru trebuie sa fie valabil si pentru stabilitatea unei orbite circulare si astfel vorbim de orbite stabile pentru derivate de ordinul 2 pozitive (astfel incat potentialul efectiv "tine apa") si instabile in caz contrar. Matematic deci, o orbita este stabila daca pentru potentialul efectiv , la o anumita distanta , este satisfacuta conditia:



Al doilea termen din membrul drept este, in virtutea primei ecuatii, , deci inegalitatea se poate inversa incat sa arate ca

.

Dupa cum stiti, derivata logaritmului natural al lui x in raport cu x este chiar inversul lui x, asa ca putem face o integrare formala in cuadratura de mai sus, ca sa o aducem la forma

, unde schimbarea sensului inegalitatii deriva din faptul ca raportul , cum se vede din prima formula. Nu va bateti capul cu demonstratia acestui pas, ca sa fie facut cinstit pana la capat trebuie utilizata o teorema destul de urata din analiza matematica, si nu se merita pentru discutia de fata.

Daca in vecintatea lui , forta se comporta ca , unde constanta de proportionalitate este considerata pozitiva, atunci conditia de stabilitate scrisa in prima forma (fara derivate logaritmice) este

, sau .

Iata ce rezultat remarcabil! Un potential central atractiv, ce variaza ca o putere a distantei, mai lent (dar inclusiv) ca , poate produce orbite circulare stabile indiferent cat de departe sau de aproape este punctul de minim al potentialului efectiv.

Daca orbita circulara este stabila, cum am spus deja, o crestere mica a energiei conduce la o mica variatie a lui in jurul lui . Se arata (nu chiar atat de) usor ca ceea ce rezulta este o miscare armonica simpla in variabila in jurul lui , de forma

, unde a este amplitudinea oscilatiei ce depinde decat de mult am crescut energia fata de valoarea pentru orbite circulare, iar este un numar ce rezulta din dezvoltarea in serie Taylor a fortei in jurul razei orbitei circulare. A treia cantitate este evident unghiul azimutal. Tot (nu) la fel de usor, se gaseste legatura dintre acest numar si forta, prin expresia

.

La o maturare completa, de catre vectorul de pozitie, a planului miscarii, au loc cicluri ale oscilatiei, iar daca este un numar rational, raportul a doi intregi si , de forma , atunci dupa revolutii vectorul de pozitie si-ar calca din nou pe urme, astfel ca orbita este inchisa. In imaginea urmatoare vedeti ceea ce vreau sa spun, pentru cazul in care este suficienta o singura revolutie pentru inchiderea orbitei.

”o orbita inchisa”:

Pana in momentul de fata am concluzionat ca atata vreme cat la o raza data conditia de stabilitate este satisfacuta, atunci cu momentul cinetic si energia corecte, putem genera o orbita circulara la acea distanta. Intrebarea la care trebuie sa mai raspundem este: ce fel de forte vor pastra orbita inchisa, daca deviem putin parametrii implicati de la conditia de circularitate? In primul rand, rezulta imediat ca nu trebuie sa fie numai un numar rational, trebuie sa fie acelasi numar rational pentru toate razele la care orbite circulare sunt posibile. De ce acest lucru este asa, se vede tot dintr-o parte omisa a demonstratiei: in dezvoltarea Tayloriana, nu poate lua decat valori rationale; daca lucrurile ar sta totusi altfel, acesta ar fi obligat sa varieze discontinuu cu , ceea ce ar conduce la o variatie discontinua a numarului de revolutii necesar pentru a inchide orbita, ori acest lucru ar deveni imposibil la fiecare punct de discontinuitate. Astfel, cu acest parametru constant, ecuatia care il leaga de forta devine o ecuatie diferentiala pentru aceasta din urma, atata vreme cat nu uitam ca este valabila numai pentru acele valori ale lui ce satisfac conditia de stabilitate. Si aceasta ecuatie se poate scrie ca o derivata logaritmica:

.

Integrala se face destul de usor si rezultatul final este:



Toate fortele de acest tip, cu rational conduc la orbite inchise in cazul in care conditiile initiale sunt deviate foarte putin de la cele de circularitate. Daca parametrul este luat 1, regasim gravitatia Newtoniana, ce variaza cu inversul patratului distantei dar si forta care ar rezulta din, sa spunem, ar produce orbite inchise.

Ce s-ar intampla in cazul in care conditiile initiale nu ar devia putin fata de conditiile de circularitate? Bertrand a rezolvat problema asta, tinand un termen in plus in seria Taylor si luptandu-se cu calculele dificile si a gasit un rezultat impresionant: pentru deviatii de la circularitate mai mari de ordinul 1 in seria Taylor, orbitele raman inchise in numai doua cazuri: si . Prima valoare ne duce la campul gravitational Newtonian, sau la campul Coulombian al unei sarcini electrice punctiforme, pe cand al doilea rezultat produce, in mod poate surprinzator, legea lui Hooke, oscilatorul armonic! Acestea si numai acestea sunt fortele care pot produce orbite stabile inchise pentru o combinatie arbitrara de moment cinetic si energie (cea din urma fiind evident negativa). Astfel, afirmatia finala a teoremei lui Bertrand este:


Singurele forte centrale ce produc orbite inchise pentru toate particulele legate sunt forta ce variaza cu inversul patratului distantei si forta ce variaza liniar cu distanta.

Se regaseste acest rezultat in realitate? Din observatiile facute in sistemul solar, planetele au orbite aproximativ inchise, micile deviatii rezultand din perturbatia produsa de prezenta celorlalte planete din sistem (sa nu uitam ca nu este o problema pura de doua corpuri, in realitate exista influente asupra miscarii unei planete din parte tuturor celorlalte). Orbitele s-au gasit a fi riguros inchise pentru multe sisteme de stele duble ce au fost observate, unde influenta altor astre este prea mica pentru a le perturba. Forta lui Hooke este un exemplu total nerealist pentru interactii la distante mari, caci implica o forta ce creste infinit de mult cu distanta de separare (este amuzant insa faptul ca desi acest comportament pare absurd in discutia noastra, quarcii tocmai asta fac!), si ajungem la concluzia ca teorema lui Bertrand cuplata cu observatiile astronomice sunt suficiente pentru a realiza ca gravitatia variaza cu inversul patratului distantei, caci nici o alta forta nu ar putea crea orbite inchise intr-o gama atat de larga de conditii.

Concluzia din urma poate fi reformulata intr-un fel ceva mai semnificativ pentru fizica moderna. Miscarea orbitala in plan poate fi vazuta ca o compunere a doua miscarii oscilatorii, una in coordonata radiala iar cealalta in coordonata unghiulara, ambele avand aceeasi perioada. Caracterul orbitelor in camp gravitational defineste legea fortei. Mai tarziu vom reveni la acest aspect, cu un rezultat surprinzator, ce are implicatii profunde chiar si in mecanica cuantica.

Gata, discutia generala a fost incheiata. Pregatiti-va pentru calcule in forta, caci de data viitoare ne apucam de rezolvarea explicita a problemei lui Kepler.

Azi incepem sa tratam problema pe care am dorit sa o rezolvam de la bun inceput, anume miscarea in camp gravitational, caci avem la dispozitie toate uneltele necesare.

Astfel, forta care ne intereseaza este

, unde si am scos in evidenta faptul ca este atractiva.

Folosind formula binecunoscuta, , deducem imediat potentialul care corespunde acestei forte, din urmatoarea integrala de drum, in care tinem cont de simetria sferica a problemei (singura coordonata relevanta este cea radiala):



Scriu si in cuvinte ideea. Valoarea la infinit a potentialului o putem fixa arbitrar, caci relevanta nu are decat variatia acestuia cu distanta, asa ca o alegem pentru convenienta sa fie 0, pe baza argumentului ca o forta ce scade in intensitate cu inversul patratului distantei are efecte foarte mici la distante mari fata de sursa, deci intr-un final .

Sunt mai multe cai de atac acum. O abordare ar fi sa introducem aceste formule pentru forta si potential in ecuatia orbitei (trebuie sa avem grija sa pastram semnul fortei), anume in:



Daca trecem la variabila , prin calcule foarte asemanatoare cu cele pe care le-am facut cand am discutat ecuatia orbitei, gasim ca



Daca facem substitutia , gasim o ecuatie armonica omogena:



In mod evident, o functie trigonometrica simpla ar fi o solutie particulara a acestei ecuatii. Putem scrie, spre exemplu , unde si sunt constante de integrare, iar facand acum pasii inapoi in variabila si apoi in , ajungem la:

, unde

O alta alternativa este sa folosim integrala generala a lui ca functie de , scrisa pentru cazul nostru particular in care (am dedus aceasta formula cand am studiat ecuatia diferentiala a orbitei si potentiale ce variaza ca o putere a razei):

, unde inca nu am specificat limitele de integrare, deoarece vrem sa aratam mai intai cum se rezolva in general o astfel de integrala. Constanta din fata integralei este determinata de conditiile initiale, dar nu trebuie sa corespunda in mod neaparat unghiului initial de la momentul initial (o sa vedem mai incolo ce informatie contine de fapt).

In orice caz, observam ca integrala noastra de variabila , are urmatoarea forma generala:

, unde am vrut sa scot in evidenta faptul ca la numitor avem o forma patratica sub radical. Ideea ca vom dori sa ajungem cumva la functii trigonometrice acolo.

Forma patratica o restrangem in felul urmator:



Acum facem schimbarea de variabila , de unde rezulta imediat ca



Daca ne uitam la integrala problemei noastre (in variabila u), vedem ca si , deci putem rescrie aceste marimi ca

, unde m si n sunt numere pozitive si avem grija sa nu confundam acest m cu masa redusa a sistemului (nu prea avem cum sa o facem, ca cele doua nu coexista in aceleasi ecuatii, dar sa fim prevazatori).

Cu aceste inlocuiri, integrala a devenit



Promit ca urmeaza ultima schimbare de variabila, dupa care o luam inapoi din aproape in aproape.



Mai priviti odata de unde am pornit, si iata la ce am ajuns:

, unde functia constanta ce trebuia adunata la primitiva (e totusi o integrala nedefinita), am ales-o sa fie nula. Asta ca sa nu fim acuzati de cei pasionati mai mult de matematica decat de fizica de faptul ca nu suntem cinstiti pana la capat.

Inversam ultima schimbare de variabila, anume , si atunci



Stim acum ca , insa vom omite scrierea lui , deoarece vrem sa il includem in misterioasa noastra constanta de integrare . Cu acest amendament asupra utilizarii formulei si revenind in , am gasit ca

, unde



Trecem la marimile de interes fizic si revenim la ecuatia pentru de la care am pornit. Inversam functia arccos si folosim faptul ca inversa ei, functia cosinus, este para, adica , iar intr-un final revenim la variabila radiala . Tine cateva randuri sa facem toate astea dar sunt lucruri absolut banale, asa ca trec aici numai rezultatul:



Aceasta este orbita unei particule in camp gravitational. Este evident deci cine este , este chiar unghiul de intoarcere al orbitei. Remarcati ca desi am stabilit faptul ca problema are patru constante ale miscarii, apar numai trei in formula. Avem energia, momentul cinetic, si unghiul de intoarcere; asta este o proprietate caracteristica a orbitei, caci cele trei marimi contin toata informatia necesara pentru a o descrie. A patra constanta ar fixa pozitia initiala a particulei pe orbita, dar aceasta informatie este irelevanta, atata vreme cat nu ne intereseaza sa gasim explicit legea de miscare a particulei (ajungem si acolo, putin mai tarziu).

Daca am dori sa folosim acest ultim rezultat ca sa integram legea de conservare a momentului cinetic , e clar ca am avea nevoie de unghiul initial facut de raza particulei cu sistemul de coordonate.

Cine stie geometrie analitica, ne poate spune care este formula unei sectiuni conice avand un focar in originea sistemului de axe. Mare surpriza, formula este:

, unde e este excentricitatea sectiunii conice. Pentru detalii privind aceasta formula recomand pagina de wikipedia.

V-am demonstrat deci, ceea ce de mult va promisesem.

Intr-un camp gravitational, orbita particulei este mereu o sectiune conica.

Se subintelege ca iau ca reper sistemul centrului de masa. Comparand rezultatul nostru cu formula din geometrie, vedem ca excentricitatea este data de

, iar natura orbitei depinde de marimea excentricitatii in felul urmator:

hiperbola
parabola
elipsa
cerc

Iata si o imagine cu figurile geometrice enumerate, unde la 1 avem parabola, la 2 cercul si elipsa, iar la 3 avem hiperbola.

”sectiuni conice”:

Aceasta clasificare se potriveste cu schema generala pe care am discutat-o la inceput, cand am facut o analiza calitativa a miscarii, ca functie de energie, pe baza formei potentialului efectiv . Conditia pe care am gasit-o pentru orbite circulare este echivalenta cu cea discutata anterior, din urmatorul motiv.

Pentru o orbita circulara, energiile cinetica si potentiala sunt constante in timp. Atunci, din teorema de virial

, unde am folosit formula potentialului gravitational scris pentru o raza constanta egala cu raza orbitei circulare.

Daca va amintiti, conditia de circularitate era ca la raza , forta centrala sa fie egala si de sens contrar cu forta pseudoforta centrifugala, adica . Revenind cu asta in conditia pentru circularitate extrasa din teorema de virial pentru campul gravitational, gasim ca

, exact conditia pentru circularitate impusa de anularea excentricitatii. Teoria tocmai a trecut un test de consistenta, caci conditia generala si cea particulara pentru campul gravitational s-au dovedit a fi echivalente.

Ca de obicei, astept orice fel de critici, intrebari sau sugestii. Daca vi se pare ca am mers prea repede cu calculele nu ezitati sa-mi spuneti unde v-ati pierdut si rescriu si mai amanuntit. In mesajul urmator vom analiza foarte atent proprietatile orbitelor eliptice.

Urmeaza analiza orbitelor eliptice. In acest mesaj voi deduce rezultatele analitice, iar in urmatorul le voi supune unei analize numerice si va voi prezenta grafice cu felul in care variaza diversii parametri fizici ai miscarii.

Cel mai important rezultat ce priveste orbitele eliptice este acela ca axa mare a elipsei depinde numai de energia sistemului. Acest fapt a fost de o importanta extraordinara in dezvoltarea modelului Bohr al atomului de hidrogen.

Semiaxa mare este egala cu media aritmetica a distantelor apsidale. Pentru care nu isi amintesc, distantele apsidale reprezinta distantele de minima si maxima departate a particulei de masa redusa fata de centrul de forta, iar semiaxa mare, notata cu , este atunci

, cu r1 si r2 distantele apsidale.

Acestea fiind distantele extreme fata de centrul de forta, rezulta ca viteza radiala este 0 in aceste puncte (caci altfel am contrazice faptul ca sunt puncte extreme). Conservarea energiei spunea ca

, unde V' era potentialul efectiv al problemei iar al doilea termen era energia cinetica radiala a particulei.

La razele extreme, conservarea energiei se reduce la , deoarece viteza radiala este 0, ceea ce pentru un camp gravitational devine



Prin manipulari absolut banale, legea de mai sus devine o ecuatie de gradul doi pentru distanta radiala.



Cum ecuatia este valabila numai in punctele de intoarcere r1 si r2, rezulta ca acestea sunt chiar solutiile ei. Mai mult, in orice ecuatie de gradul doi in care coeficientul termenului patratic este 1, suma solutiilor este egala cu minus coeficientul termenului liniar. Asta rezulta imediat din formula care da radacinile unei ecuatii de gradul 2, iar in cazul problemei noastre, pentru semiaxa mare a elipsei, acest lucru inseamna ca



Dupa cum v-am spus de la inceput, iata ca semiaxa mare a elipsei depinde numai de energie. In limita in care miscarea este circulara, semiaxa mare devine chiar raza cercului pe care are loc miscarea, si formula noastra devine , r0 fiind raza cercului. Aceasta este chiar conditia pentru orbite circulare, deci am trecut un nou test de consistenta al teoriei.

Excentricitatea unei sectiuni conice era data de formula . Pentru miscare eliptica, scoatem energia din formula semiaxei mari si obtinem

, care va fi o formula foarte utila mai tarziu.

Putem extrage de aici patratul momentului cinetic, in forma . Daca inseram aceasta expresie in ecuatia generala a orbitei (dedusa in mesajele anterioare)

, distanta radiala poate fi exprimata ca



Punctele de intoarcere corespund fie situatiei in care egal cu 0 fie egal cu pi, pentru ca atunci ia numitorul valorile extreme. Punctul de maxima departare fata de centru este deci , ce corespunde valorii pi a argumentului cosinusului, iar cel de minima departare este dat de , ce corespunde argumentului 0. Acestea sunt proprietati care ar rezulta si dintr-o analiza pur geometrica a elipsei.

Pentru astazi, atat. Data viitoare voi supune analizei numerice aceste rezultate.

Azi prezint o scurta analiza numerica a miscarii eliptice.

Anterior am gasit ca ecuatia traiectoriei eliptice este

.

cu a semiaxa mare a elipsei, e excentricitatea, theta variabila unghiulara si theta' unghiul de intoarcere. Daca o derivam in raport cu timpul, obtinem expresia vitezei radiale



ca functie de viteza unghiulara.

Ne amintim legea de conservare a momentului cinetic, ce spune ca

 .

De aici am putea elimina viteza unghiulara din formula vitezei radiale, dar mai facem un pas. O sa dorim sa "normalizam" cantitatile relativ la miscarea pe un cerc de raza a egala cu semiaxa mare a elipsei, cu acelasi moment cinetic l ca si in miscarea eliptica, si viteza orbitala . Pe acest cerc, conservarea momentului cinetic este . Eliminam acum viteza unghiulara din expresia vitezei radiale, inlocuim l cu expresia sa pentru miscarea circulara si raza patrata care apare o inlocuim cu formula traiectoriei eliptice. Pasii sunt banali, si dupa cateva simplificari obtinem



Egaland legea de conservare a momentului cinetic pentru miscarea pe elipsa cu cea de pe cerc, gasim imediat ca

, adica raportul dintre viteza orbitala pe elipsa si cea de pe cerc este egala cu raportul dintre semiaxa mare a elipsei (sau raza cercului) si raza vectoare a particulei.

Acum, cateva figuri:

orbite eliptice:

Figura reprezinta orbite pentru diferite excentricitati. Dupa cum am aratat deja, la excentricitate nula orbita este circulara, si apoi eliptica pentru orice valoare a lui e<1.

Daca vom reprezenta raportul ca functie de excentricitate la punctele de intoarcere ale elipsei, vom gasi urmatoarea dependenta:

dependenta punctelor de intoarcere ca functie de excentricitate:

Atat afeliul cat si periheliul variaza liniar cu excentricitatea. Periheliul se departeaza de centrul de forta in timp ce afeliul se apropie, iar ele sunt egale la excentricitate 0 chiar cu raza "a" a cercului, dupa cum era de asteptat. Figura nu mai este valabila pentru e=1 sau e>1, deoarece de la excentricitate unitara, particula scapa la infinit si miscarea nu mai e legata.

Viteza radiala normata la viteza orbitala pe cerc, ca functie de raza vectoare normata la raza cercului, la cateva excentricitati, arata astfel:

viteza radiala ca functie de raza:

Observam ca la periheliu viteza radiala este nula. Ea creste rapid pe masura ce orbita este parcursa, dupa care incetineste si devine din nou nula la atingerea afeliului.

In final, viteza orbitala normata, ca functie de azimut, la aceleasi excentricitati:

viteza orbitala ca functie de azimut:

Azimutul este calculat in radiani, iar valoarea 0 corespunde afeliului. Observam ca viteza orbitala este minima acolo. Valoarea ei maxima este atinsa la periheliu, dupa care scade din nou, in acord cu legea a II-a a lui Kepler.

In mesajul urmator vom discuta miscarea in timp in problema lui Kepler, si vom gasi ce-a de-a treia lege a miscarilor planetare.

Salut Kenose !
Mi-au atras atenția două animații postate pe undeva prin acest topic, precum și pe forumul  cercetareforumgratuit, într-un subiect asemănător.

În urma unor mici discuții cu utilizatorul Răzvan de pe acel forum, mi-a trecut prin cap o idee cu explicarea mișcării orbitale bazate doar pe principiul conservării impulsului.
Ai mai jos un link :
http://cercetare.forumgratuit.ro/t2060-ipoteza-universul-fara-for539e#69959
și dacă ai timp și vrei citește un pic ce-am scris acolo.

Ce m-ar interesa în principal este dacă simularea mișcării corpurilor din animația prezentată acolo prin condițiile pe care le-am menționat eu ar putea corespunde cu cea determinată de mișcarea corpurilor într-un câmp central, așa cum ai prezentat-o și tu în acest topic aici.

Dacă vrei, putem deschide un subiect nou și aș putea să fac și o animație în care să tratez pas cu pas situația, dar sunt sigur că ai înțeles exact ce-am vrut eu să spun acolo.