Elemente de analiză vectorială

Incep aici un sir de lectii de analiza vectoriala, care vor fi utile in situatii extrem de diverse. Nu o sa recurg la un nivel excesiv de matematizare, important e sa se inteleaga tehnica de calcul ca sa puteti rezolva singuri diverse probleme care va intereseaza. Structura cred ca o sa fie urmatoarea: produse dintre vectori (o sa vedem ca sunt vreo 3 tipuri), operatori diferentiali de ordinul 1, operatori diferentiali de ordinul 2, sisteme de coordonate si teoreme generale.

Ideea de baza e ca ne vom inspira de la Einstein si vom fi lenesi in mod constructiv. Astfel, intr-un spatiu euclidian tridimensional, un vector il scriem ca



Ce inseamna asta? Ideea e ca in acest spatiu ne fixam o baza, adica ne alegem un punct arbitrar care ne place in mod deosebit si-l numim origine, iar din el ducem trei axe perpendiculare una pe alta, pe care le numim directiile noastre, le numerotam cu 1,2,3 dupa regula burghiului drept, si ducem in lungul fiecareia cate un versor de lungime unitate, notat , cu . Acesti versori definesc cele 3 directii independente din spatiul nostru, si raman fixati de acum si pana la sfarsitul vremurilor. Nu mai umblam la ei, ceea ce in limbaj matematic se va traduce prin faptul ca orice operatii vom face asupra vectorilor vor lasa acesti trei versori neschimbati. Tehnicile la care ma refer vor consta in a evalua diverse expresii vectoriale in aceasta baza carteziana cu versori fixati, unde calculele sunt mai usoare, ramanand ca rezultatele obtinute sa aiba valabilitate generala, independent de sistemul de coordonate folosit (atata vreme cat este ortogonal, desigur). Asta este clar o afirmatie grea, pe care o vom lua ca atare, fara demonstratie.

Formula de mai sus defineste si conventia noastra de sumare. De fiecare data cand doi indici se repeta intr-o expresie, consideram sumarea implicita peste toate valorile posibile ale indicilor. Ce am scris mai sus, ar insemna pe larg:



Definim urmatoarele trei simboluri:

1. Simbolul Kronecker este egal cu 1 daca i=j si 0 altfel

2. Simbolul Levi-Civita ce este 1 la o permutare para a indicilor, -1 la o permutare impara a indicilor si 0 daca oricare doi indici se repeta. Cu alte cuvinte, este 1 pentru permutarile 123,312,231 si -1 pentru 132,321,213 si 0 altfel.

3. Unitatea diadica . O sa ne fie utila mai tarziu, in contextul produselor tensoriale intre vectori.

Acum ne definim cele trei produse posibile. E o intrebare foarte frumoasa de matematica pura, de ce sunt posibile numai trei tipuri de produse intre vectori. Asta tine de faptul ca "vectorii" sunt obiecte de moment cinetic 1, ori astfel de obiecte nu pot cupla intre ele (luate cate doua) decat la moment cinetic total 0, 1 sau 2. Luati asta doar ca poveste cu care poate ne vom mai intalni pe viitor.

Produsul scalar:

Definitie:



Cred ca e limpede ce am facut. Pur si simplu am folosit ortogonalitatea versorilor bazei, deci produsele lor scalare sunt 0 pentru versori diferiti si 1 pentru acelasi versor, lucru exprimat de simbolul Kronecker, iar mai departe doar am folosit conventia de sumare si definitia simbolului Kronecker. Astfel de operatii cu simboluri Kronecker se mai numesc "contractii", caci dupa cum vedeti elimina un indice.

Desfasurat, rezultatul este binecunoscutul si este un scalar.

Produsul vectorial:

Definitie:



Aici trebuie sa ne apucam muncitoreste de socoteli, si gasim ca rezultatul scris desfasurat este iarasi binecunoscut, fiind vectorul



Produsul tensorial:

Definitie:



Acesta poate parea ciudat. Desfasurat este o matrice 3x3, avand elementul de pe linia i si coloana j egal cu produsul dintre componentele i si j ale celor doi vectori, adica este chiar .

Cam atat pentru inceput, jucati-va putin cu ideile astea ca sa nu mai para prea dubioase si apoi trecem mai departe la operatii interesante. Daca vi se pare ca am fost prea expeditiv si nu stiti sa scrieti desfasurat ceva de acolo, nu ezitati sa ma anuntati.

Evident ca am uitat sa scriu o formula extrem de importanta, dar merge bine si acum, ca tot las niste jucarii de exercitii.

Teorema: (fara demonstratie)



Deci cand avem un produs de doua simboluri Levi-Civita cu un indice comun, acesta se descompune ca mai sus.

Acum va rezolv eu cateva exemple cu astfel de produse, si las mai multe exercitii tema.

Exemple:

1.

Am demonstrat ca

Observati ca simbolul Levi-Civita isi schimba semnul atunci cand mut un indice o pozitie, ceea ce este firesc, deoarece schimb paritatea permutarii la o asemenea operatie. Pe de alta parte, simbolul Kronecker nu are aceasta proprietate. Acesta este un simbol total simetric, pe cand simbolul Levi-Civita este total antisimetric, schimbandu-si semnul la orice permutare.

2.

3.

Observati ca produsul scalar il iau cu primul versor din unitatea diadica.

Tema:

La exerciţiul

Folosim faptul că

Şi avem:



din comutativitatea rezultă că ecuaţia este egală cu 0.

Corect! Dacă te simți curajos, încearcă să-l faci și cu un calcul cu indici, doar ca să te obișnuiești cu ei. Nu trebuie să postezi aici toată înșiruiala, poți să mă întrebi dacă te încurci că trebuie să-l verifici și eu (te poate păcăli) dar verifică să vezi că-ți dă într-adevăr .

Iniţial aşa am avut de gând; dar cum am un scris "de doctor" mă încurcam singur la indicii scrişi pe ciornă; aşa că, am renunţat.