Gauri negre - Black holes

Continui seria descrierilor unor fenomene şi noţiuni ştiinţifice cu prezentarea modelelor de gaură neagră şi expunerea principalelor ecuaţii ce le caracterizează.
Dat fiind complexitatea şi volumul mare de calcule, cât şi faptul că ele se pot găsi în lucrări de specialitate, relaţiile matematice vor fi scrise ca atare, fără demonstraţie.

În 1915, fizicianul german Karl Schwarzschild obţine o soluţie a ecuaţiilor de câmp din cadrul Relativităţii Generale a lui Einstein, prin care anticipează existenţa unor corpuri, de masă suficient de mare, al căror câmp gravitaţional n-ar permite nici măcar luminii să evadeze.
Pe scurt, viteza de evadare de pe un asemenea corp este chiar viteza luminii. Asta înseamnă că nici un fel de informaţie nu poate scăpa în exterior, un asemenea obiect având aspectul unei găuri negre în spaţiu (de unde şi numele de „black hole”).
El este caracterizat doar prin următoarele mărimi:
- masă;
- spin;
- sarcină electrică.
Un alt parametru important este „orizontul evenimentelor”, adică graniţa în spaţiu-timp ce nu mai poate fi trecută înapoi de nici un obiect atras de gaura neagră. Dimensiunile acestei zone sunt exprimate prin Raza Schwarzschild:

                           

Volumul acestei regiuni fiind:

                         

În esenţă, gravitaţia unui astfel de corp, curbează spaţiu-timpul de aşa natură, încât rezultă o singularitate spaţio-temporală, un punct cu densitate infinită. Metrica în coordonate sferice a acestui spaţiu este numită şi metrică Schwarzschild, având expresia:



Timpul propriu de cădere a unei particule de la coordonata radială r la singularitate este

                   

similar celui exprimat prin gravitaţia Newtoniană.
Aşadar, în frame-ul propriu, o particulă ce cade în gaură, atinge singularitatea într-un timp finit. Modificările relativiste apar doar în relaţia cu un observator extern.

Pentru observatorul extern, dilatarea temporală t măsurată din poziţia sa a unui eveniment t₀ produs la coordonata radială r se exprimă prin relaţia:

                  


Se poate observa că la condiţia  dilatarea temporală măsurată de observatorul extern devine infinită.


Formare:
Sub aspect evolutiv, majoritatea sunt de tip stelar, formate prin colapsul gravitaţional al unor stele cu masa mai mare de 2,5 – 3 mase solare.
Este presupusă existenţa (însă nedovedită) a unor găuri negre de mici dimensiuni, apărute imediat după big-bang, a căror masă ar putea fi de ordinul a 10¹² kg.
Pe lîngă acestea mai există şi găuri negre supermasive, activând în nucleele galactice şi formate prin unirea mai multor găuri negre de tip stelar.

Formarea prin colaps gravitaţional:
Considerând că nucleul stelar are, înaintea începerii colapsului, o densitate de ordinul a 10⁹ kg/m3, atunci, după    efectele TRG sunt importante şi colapsul devine relativist. Mai departe, nucleul va colapsa sub sfera Schwarzschild în câteva secunde. Raza configuraţiei va tinde rapid spre zero, iar densitatea materiei spre infinit.
Teoretic, aceste lucruri se petrec pentru un observator „legat” de nucleul stelar aflat în colaps şi care se prăbuşeşte odată cu nucleul. Pentru un observator îndepărtat, fenomenul se desfăşoară cu totul diferit; pentru acesta, contracţia spre sfera Schwarzschild are loc într-un timp infinit.


Clasificare:
În funcţie de cele trei mărimi ce le caracterizează, găurile negre sunt de următoarele tipuri:

1. Găuri negre de tip Schwarzschild.
Cel mai simplă gaură neagră este cea de tip Schwarzschild: un obiect cu simetrie sferică, fără rotaţie şi fără sarcină electrică, caracterizat doar prin masa sa. Este un caz idealizat de black-hole, folosit ca model pentru predarea unor noţiuni generale despre aceste corpuri cereşti. Metrica spaţiului afectat de acest corp este cea de mai sus.
2. Găuri negre de tip  Kerr – caracterizate prin masă şi moment cinetic.
3. Găuri negre de tip  Reissner – Nordstrom – caracterizate prin masă şi sarcină electrică.
4. Găuri negre de tip Kerr – Newman – caracterizate prin masă, moment cinetic şi sarcină electrică.
Există posibilitatea trecerii de la o clasă la alta prin acreţie de materie.


Va urma...

Găuri negre de tip Schwarzschild:

Pentru orice obiect, raza Schwarzschild este proporţională cu masa sa. Astfel, dacă dimensiunile fizice ale obiectului ar fi de proporţiile razei sale Schwarzschild, obiectul ar fi o gaură neagră. Dacă Pământul ar avea toată masa sa concentrată într-o sferă cu diametrul de doar 9 mm, ar fi o gaură neagră. Spunem că raza Schwarzschild a Pământului are această valoare.
Pentru Soare, raza Schwarzschild echivalentă este de aproximativ 3 km, în timp ce pentru întregul univers ea este cam de 10 mild. de ani-lumină.
Când raza geometrică a unui obiect este mai mică decât raza Schwarzschild, obiectul devine o gaură neagră. Suprafaţa pe care acţionează raza Schwarzschild este numită orizont de eveniment. Nici lumina, nici altă perticulă, nu poate scăpa prin această suprafaţă spre exterior.


Raza Schwarzschild în câmp gravitaţional Newtonian:

Câmpul gravitaţional Newtonian din apropierea unui corp cu simetrie sferică, masiv şi cu rotaţie lentă, poate fi aproximat în funcţie de raza Schwarzschild, după cum urmează:



unde este acceleraţia gravitaţională pentru coordonata radială .

Pentru orbite circulare în jurul corpului central relaţia devine:



unde este raza orbitei.

Ecuaţia de mai sus poate fi generalizată pentru dilatarea relativistă a timpului:



Expresia finală ne arată că un obiect care gravitează o gaură neagră la viteza luminii se va plasa pe o orbită circulară la 1,5 .
Această orbită este cunoscută ca sfera fotonică.


Găuri negre de tip Kerr:

Acest tip de găuri negre posedă moment cinetic. În jurul lor apare fenomenul de frame-dragging, ceea ce induce oricărui obiect din apropiere o mişcare de rotaţie în sensul de rotaţie al găurii.
Ia naştere astfel o zonă, de forma unui sferoid aplatizat, la poli atingând orizontul evenimentelor şi la ecuator fiind mai depărtată de acesta, numită ergosferă. Particulele şi radiaţiile ce gravitează înăuntrul acestei zone pot scăpa în afară, având o energie mai mare decât cea cu care au intrat. Acest plus de energie este preluat din energia de rotaţie a găurii negre, cauzându-i încetinirea.


Găuri negre de tip Reissner – Nordstrom:

Acest tip de găuri negre, cu sarcină electrică, deşi predicţionat de teorie, este puţin probabil să existe în natură. Asta, deoarece forţa de repulsie electrostatică este mai mare cu 40 de ordine de mărime decât forţa gravitaţională, fiind de aşteptat să nu existe găuri negre cu o sarcină electrică semnificativă.

..................

Stelele neutronice conțin și protoni, într-o proporție mult mai mică decât neutronii. Ar fi interesant de estimat cam care poate fi sarcina unei stele neutronice, ca să vedem cam ce sarcină ar putea avea o gaură neagră de tip Reissner - Nordstorm.

Există totodată teorii noi, care sunt cât se poate de profesionist realizate, dar din păcate, încă destul de departe de posibilitatea de verificare experimentală, care spun că miezul stelelor neutronice ar putea fi alcătuit din materie hyperonică sau condensați kaonici. Cum neamurile astea de particule pot fi încărcate, ar fi iar interesant de știut dacă miezul rămâne per total neutru sau poate acumula o sarcină semnificativă.

Până la urmă întrebarea e, dacă steaua ar fi încărcată, sarcina ar rămâne ”prinsă” în gaură în urma colapsului, nu?

Presupun că da. Oricum, asemenea găuri negre reprezintă mai mult un model teoretic, fiind puţin probabil să existe în realitate, deoarece s-ar „neutraliza” rapid prin atragerea de sarcini opuse.

Interesantă este însă geometria unor asemenea corpuri: modelele matematice impun existenţa a două orizonturi de eveniment, extern şi intern, ce generează o gaură de vierme cu un singur sens. La trecerea prin orizontul interior, datorită presiunii negative exercitate de câmpul electric, gravitaţia devine repulsivă şi ar proiecta materia într-un alt spaţiu-timp.
Ai mai jos o diagramă Penrose ce exemplifică acest lucru:

Diagrama Penrose:

Continui prezentarea caracteristicilor găurilor negre cu introducerea setului de coordonate Kruskal–Szekeres. Acestea reprezintă un alt mod de a descrie geometria spaţiu-timp din apropierea orizontului de eveniment, cât şi în cazul singularităţii ce apare în cazul metricii Schwarzschild.
Ştim că metrica Schwarzschild este definită în principal de 4 coordonate, , unde:
- t este coordonata temporală măsurată de un ceas staţionar localizat la distanţă infinită faţă de corpul masiv;
- r este coordonata radială a particulei de probă;
- este colatitudinea particulei de probă (unghiul de la Nord exprimat în radiani);
- este longitudinea (exprimată tot în radiani).
Întrucât la r = 2M şi r = 0 metrica Schwarzschild nu poate descrie într-un mod util natura orizontului de eveniment şi a singularităţii, au fost introdus, de către Martin Kruskal împreună cu George Szekeres, în anul 1960, nou set de coordonate, , astfel:
sunt aceleaşi coordonate polare, în schimb, coordonata temporală t a fost înlocuită cu V, iar cea spaţială cu U, având loc următoarele transformări:







Astfel, metrica Schwarzschild, exprimată prin coordonate Kruskal–Szekeres, devine:


(pentru G şi c = 1 în SUN)

Coordonata radială r este considerată o funcţie de V şi U definită implicit prin relaţia:



În acest caz, orice direcţie de-a lungul coordonatei V defineşte întotdeuna un interval temporal, iar de-a lungul coordonatei U un interval spaţial, prin contrast cu coordonatele Schwarzschild, unde pentru coordonata t obţinem un interval temporal pentru r > 2M şi spaţial pentru r < 2M, iar pentru coordonata r avem un interval spaţial pentru r > 2M şi temporal pentru r < 2M.
Locaţia orizontului de eveniment este satisfăcută pentru .
....................

Conform extensiei Kruskal, geometria spaţiu-timp a metricii Schwarzschild devine divizată în 4 regiuni:

I.     Regiunea exterioară – este regiunea spaţiu-timpului observabil, lumea noastră, până la orizontul evenimentelor. Pentru această regiune avem:
şi

II.     Interiorul găurii negre – este regiunea de dincolo de orizontul de eveniment, pentru care:  

III.     Interiorul găurii albe – asemănătoare cu regiunea II, find definită pentru:


IV.     Regiunea paralelă externă - această regiune corespunde unei săgeţi a timpului inversate faţă de regiunea II, fiind numită şi “gaură albă” (vezi diagrama Penrose de mai jos). Este definită prin:

Diagramă Penrose:

Privită în acest mod, geometria spaţiu-timp a unei găuri negre apare ca două suprafeţe spaţiale unite printr-o "gaură de vierme", ca în imaginea de mai jos: