Discutii elementare de matematica

Rezumarea primului mesaj :

Rami a scris:
Să ne imaginăm că dispunem de o lume bidimensională în miniatură. Locuitorii acestei lumi sunt doar figuri geometrice plane: triunghiuri, dreptunghiuri, romburi, pătrate, cercuri. Vom dota aceste figuri cu inteligenţă şi tehnologie, similare cu nivelul nostru de dezvoltare umană. Legile fizicii se păstrează şi în acea lume, fiind doar adaptate pentru 2 dimensiuni. ...
Şi acum întrebarea: cum poate un locuitor al acelei lumi, prin ce experimente sau teorii fizice, să pună în evidenţă existenţa unei dimensiuni suplimentare, respectiv înălţimea?

Prin matematică, mai exact prin noțiunea de infinit.

Într-adevăr vorbim ipotetic de o lume bidimensională.
Dar cum ar fi o lume...unidimensională ?
Dacă ceva are o dimensiune/mărime, indiferent cât de mică ar fi, există una și mai mică.
Vorbim de o lume...în plan, să-i spunem.
Acel plan trebuie să aibă o grosime, indiferent cât de mică, infinit de mică, altfel aceea lume nu există fizic.
Atunci, la fel ca și mai sus, dacă există o grosime oricât de mică ar fi, există una și mai mică.
Pe acest principiu avem așadar, o infinitate de puncte ce construiesc un alt plan, cel al înălțimii.

Pe această linie, problema mai mare care trebuie ridicată este cea a existenței unei dimensiuni.
Pentru că existența unei singure dimensiuni, prin prisma infinitului, determină existența a cel puțin 3 dimensiuni.
Deci fie sunt cel puțin trei deodată, fie nu este niciuna, prin matematica infinitului.

Mda, înţeleg ce vrei să zici: e şi ăsta un mod de a privi lucrurile.
Vrei să spui că cu cât privim mai "adânc" cu atât putem găsi aceeaşi structură a materiei, similară cu un fractal, dacă am înţeles bine ideea ta.
Totuşi, în subiectul de la care plecase discuţia, eu definisem o altfel de lume: bidimensională. Şi la această lume se aplică fractalitatea, însă doar pe cele două dimensiuni.
Cum să-ţi dau un exemplu mai edificator? Să zicem că avem o bandă Moebius, care are o singură suprafaţă: dându-i o gaură, nimerim în aceeaşi suprafaţă a planului, nu în suprafaţa cealaltă. Cum s-ar zice, cu toate că putem măsura grosimea hârtiei din care este confecţionată banda, ea nu manifestă decât o singură suprafaţă, un plan (curb, sau în orice caz de geometrie neeuclidiană), dar totuşi doar un plan (un semiplan, pentru a fi mai riguros!). Ei bine, Flatland, este definită, dacă vrei, pe o suprafaţă!

81MCN a scris:OK.
Haideți acum să încercăm să definim segmentul și dreapta, în funcție de mulțimea punctelor ce le conțin.
Dacă între oricare două puncte aparținând unui segment sunt o infinitate de puncte, atunci segmentul însăși conține o infinitate de puncte.
De asemenea, dreapta conține o infinitate de puncte.
Deci, din punctul de vedere al numărului de puncte conținute, dreapta și segmentul nu pot fi diferențiate.
Oare ?
Doar dacă nu cumva, infinitul poate avea...o limită.
În exemplul segmentului, deși este mărginit, conține o infinitate de puncte.
Deci anumite caracteristici limitează infinitul, deși rămâne în esență un infinit. 

Printr-un efect de zoom in să-i spunem, dreapta infinită se regăsește în segment.

Ceea ce nu reușesc să înțeleg exact pentru moment este dacă putem privi problema în sens invers, iar printr-un efect de zoom out să-i spunem, dreapta infinită poate deveni un segment limitat, prin aceeași logică prin care un segment devine o dreaptă infinită.

Desigur, din punctul de vedere al definițiilor matematice actuale, ambele situații sunt imposibile, dar eu încerc prin discuțiile cu voi să determin aspectele riguros definite pentru care aceste situații ar fi posibile.

Evident, trebuie luat în calcul și concluziile urmașilor noștri după secole de meditări în privința infinitului, dar mă gândesc că printr-o viziune diferită asupra situației se pot concluziona idei noi, diferite și poate chiar utile pentru înțelegerea mai profundă a ideii de dimensiune.

Ce credeți, are rost să pierdem timpul cu asta ?

Asa cum bine ai spus si tu, cardinalitatea segmentului si a dreptei care il contine este aceeasi. Cele doua multimi au acelasi numar de puncte. Motivul pentru care nu tine partea pe care am subliniat-o in mesajul tau se datoreaza faptului ca intre un segment de dreapta si o dreapta exista o diferenta majora: segmentul este compact, pe cand dreapta nu. Acest concept poate fi inteles intuitiv in felul urmator: orice segment de dreapta poate fi acoperit cu o reuniune finita de submultimi inchise. Cu alte cuvinte, orice segment poate fi divizat intr-un numar finit de subsegmente a caror reuniune sa fie egala cu segmentul. Dreapta in schimb nu este compacta. Nu ai cum s-o scrii ca o reuniune finita de submultimi ale sale, decat daca folosesti submultimi deschise la macar unul din capete.

Kenose a scris:Cu alte cuvinte, orice segment poate fi divizat intr-un numar finit de subsegmente a caror reuniune sa fie egala cu segmentul.

Sigur, dar eu analizez situația în care subsegmentul considerat este un punct.
Exceptând această situație sunt perfect de acord cu părerile amândurora, a ta și a lui Rami, și nu v-aș face să vă pierdeți timpul inutil.
Însă, în această situație segmentul nu mai este format dintr-un număr finit de subsegmente, ci unul infinit.

Desigur, analizăm un model abstract și vizualizăm situația abstractizând-o geometric.

Dacă punctul este o unitate adimensională, fără lungime, lățime, grosime, cum poate fi un segment de lungime 1 format dintr-un număr finit/infinit de unități cu lungime 0 ?
Evident, modelul este mai mult decât abstract.
Și totuși putem defini segmentul.
Oare-l putem defini doar într-un singur sens ?
Segmentul este format dintr-un număr finit/infinit de unități adimensionale,
dar un număr finit/infinit de unități adimensionale nu formează un segment.

Matematic, dacă am exprima lungimea segmentului ca fiind 1, iar segmentul conține o infinitate de puncte, dimensiunea punctului va fi .

Dacă analizăm celălalt sens, iar lungimea punctului este 0, atunci o infinitate de puncte, prin relația de mai sus va fi .

Deși ambele sunt nedeterminări, prima variantă pare mai plauzibilă pentru mine, plecând de la segment și ajungând la punct, decât invers, mai mult și pentru că

Ce ziceți ?

Ca sa vorbesti de lungime, trebuie sa vorbesti de posibilitatea de a masura distante, ori asta presupune introducerea notiunii de spatiu metric. Un spatiu metric este orice multime (ale carei elemente le numim generic puncte, dar ele pot fi orice, de la papadii pana la punctele unei drepte) in cadrul careia pentru fiecare pereche de puncte p si q este asociat un numar real d(p,q), numit distanta de la p la q. Aceasta functie d(p,q) trebuie sa fie pozitiva si nula numai daca p=q (distanta de la un punct la sine insusi este nula), sa fie simetrica (isi pastreaza valoarea daca interschimb p si q) si sa satisfaca regula triunghiului, adica distanta d(p,q) este intotdeauna mai mica sau egala decat suma d(p,r)+d(r,q) pentru oricare r din multimea pe care lucrez.

Vezi bine ca aceasta definitie are sens independent de cardinalitatea multimii, adica independent de faptul ca multimea ta este finita, numarabila, sau de puterea continuumului, cum e cazul punctelor de pe o dreapta. Mai mult, aceasta definitie care in esenta e foarte rudimentara, evita paradoxul pe care l-ai obtinut tu. Greseala ta in mesajul de mai sus, din prima acestei definitii, este ca incerci sa scrii lungimea segmentului ca suma tuturor lungimilor de forma d(x,x) unde x apartine segmentului, ori asta este mereu 0. Asta te conduce la rezultatul gresit, anume 0*infinit=L (tu ai luat L=1). Ca sa scrii corect lungimea, trebuie sa calculezi distanta d(A,B), unde A si B sunt capetele segmentului.

Daca nu ai inteles ce am vrut sa spun, sau am mers eu prea repede, atrage-mi atentia.

Edit: totodata, nu vad asta ca o pierdere de timp. E placerea mea sa discut asemenea subiecte, altfel nu as fi fost aici.

De ce sa fie descrisa distanta prin functia ceea d, de ce exprimi distanta prin forma d(p,q) si nu pur si simplu spui: distanta de la p la q ?! Ea descrie "forma" spatiului in care se lucreaza?!

Nu cred ca iti inteleg intrebarea. Intr-adevar, functia d(p,q) defineste metrica spatiului pe care lucrezi. Orice functie d(p.q), avand proprietatile listate este o distanta. Asta e una dintre cele mai generale definitii, dar se poate largi, renuntand la constrangerea ca functia sa fie mereu pozitiva. In definitiv, in spatiu-timpul Minkowski poti avea si distante negative, deoarece intre doua evenimente, distanta din spatiu-timp e de forma . In matematica e suficient insa sa o lasam cu proprietatile de mai sus, si vedem ca definitia este consistenta indiferent de cardinalitatea multimii pe care este aplicata, la fel cum este independenta de natura punctelor care alcatuiesc multimea. Dupa cum am spus, p si q pot sa fie orice, important e sa existe o relatie care sa asocieze punctelor numere reale, astfel incat sa pot defini o distanta si sa construiesc spatiul metric asociat.

meteor a scris:De ce sa fie descrisa distanta  prin functia ceea d, de ce exprimi distanta prin forma d(p,q) si nu pur si simplu spui: distanta de la p la q ?! Ea descrie "forma" spatiului in care se lucreaza?!

In linii mari bine ai pus problema chiar daca nu te-ai exprimat foarte fericit.Multi confunda notiunea de spatiu cu notiunea de spatiu din limbajul cotidian (un fel de R^3 fara reguli foarte exacte si unde teorema lui pitagoara in trei dim. este o consecinta si nu o metrica definita)

Mai putin riguros eu presupun ca este corect si asa:
Proprietatile functiei "distanta" impreuna cu proprietatile multimii pe care este ea definita definesc proprietatile spatiului.

Proprietatile spatilor pe linga forma metricii definite sunt influentate si de proprietatile multimii pe care  definim aceasta metrica,(atat de dimensionalitatea acestei multimi cat si de cardinalitatea ei)
Ca si un exemplu: poti definii spatii  pe Z,Z^2.Z^3... sau pe R,R^2,R^3...la aceasi "dimensiune" si la aceasi "metrica" cele doua spatii au proprietati diferite.

Plus daca mai schimbam si forma functiei prin care am definit metrica este clar ca spatiile respective isi schimba proprietatile.

Spre exemplu acelasi spatiu bidimensional poate avea diferite "forme" .

Un exemplu cel mai bun cred ca este sfera.

Noi spre exemplu traim pe suprafata uni obiect (din chite se stie) tridimensional (sfera). Suprafata este o dimensiune bidimensionala.
Insa cred ca nu e chiar bine spus, asa cum am remarcat mai deseori.

Atunci chind stii caci suprafata este "plana" (planul euclidian), atunci poc- poc si spui cu tarie caci pentru a determina coordonatele orecarui punct din acest plan ai nevoe de cel putin 2 date (aceasta strict fara sa precizam ce tip de sistem de coordonate algem, mai bine spus trebue cel putin 3 date, a 3-a data precizeaza in care sistem lucrezi ).
Aici nimeni nu masoara distanta dintre 2 puncte de pe suprafata sferei cu teorema lui Pitagora in spatiu (cu toate ca asa si ar fi corect), nu masoara deoarece am "trai" in "lumea" Flatland.

INSA pe alte suprafete cu alta forma, nu e deajuns sa precizezi doar 2 date pentru a determina coordonatele cutarui obiect (si aici fara sa luam in considerare ca nu precizezi sistemul de coordonate in care lucrezi).
Mai trebue ceva specific cutarei forme.

Chind se spun coordonatele unui anumit punct geografic de pe Terra, nu se mai spune si raza(nu se precizeaza si concretizeaza propretatile obiectul) Terrei.