Inversa functiei

Vom incerca sa gasim o metoda clara si trainica de a gasi inversa unei functii , iar apoi daca ne suride norocul sa punem in aplicatii ceea ce gasim.

Pacaleala consta in aceea ca aplicam integrala functiei pe care avem, apoi dupa jonglari ne ramine in fata ceva de calcul pentru a obtine inversa cutarei functii.
Integrala pe un anumit interval, inseamna aria de sub graficul functiei.
Stiind aceasta arie , noi incercam sa o exprimam si functiei inverse. Apoi iese la suprafata functia inversa, din o egalitate. Ramine de calculat o integrala la care o limita este functia cutare, rezultatul fiind o alta functie, cam asa arata:
Cunoscindu- se f(x), g(x), f(k) se determina .
Usor de spus, insa nu asa de usor e de rezolvat asa integrale.
Integrale a caror limite sunt exprimate prin o functie(neconstanta) si o constanta, sau, prin doua functii.
Aici batae de cap.
La unele functiile ce se pot integra(nu neaparat polinomiale), li se pot calcula solutiile.
Multe functii, daca se afla inversa, se mai rezolva ceva..
Exemplu:
Fie avem o functie definita pe intervalul [k,x] cu valori in [f(k),f(x)], 0 < k < x, f(k) < 0, f(x) > 0, 


Eu m-am agatat in asa caz de aria de sub graficul functiei.
Aria de sub graficul functiei initiale = aria pe portiunea hasurata a inversei acestei functii
Dupa care aflam:
Cine are idee cum se calculeaza asa integrale, acela poate calcula o droae de probleme cu conditiile impuse.

Atentie, asa probleme chind se rezolva permament e de dorit sa se faca desenul, caci formula de mai sus poate putin varia, ideea insa aceeasi raminind.

Pentru usurinta eu propun ca o limita a intervalului (valoarea ceea a lui k) sa fie 0 (adica k=0), iar a doua valoare (variabila x) sa fie clar ca diferit de 0, fie ea negativa sau pozitiva, in asa caz formula putin putin se simplifica.

Sa luam un exemplu concret la mintea cucosului.

Fie avem functia  
Sa ii determinam inversa.
Pac- pac construim graficul functiei (construim bisectoarea, desenam cam unde si cum trebue sa arate inversa si cum sa o exprimam) si impunem conditia: pentru x>0 avem:
 

In sfirsit avem ca:

Cine oare sa fie  ?!
La ghici fie presupunem ca 
Si daca sa verificam, vom inlocui in egalitate si  intradevar aflam caci ambele parti sunt egale :

Altfel spus mai diplomatic se mai putea scrie si asa:
( adica dupa ce se determina integrala, apoi se compune functia obtinuta cu [atentie nu se mai aduna constanta ceea cum stim ca se facea la integralele nedefinite] si se egaleaza cu valoarea pe care o vedeti)

- Trebue de demonstrat ca  nu pot exista alte functii care sa respecte cutarea egalitate, adica unicitatea solutiei (sunt convins ca asa e, insa trebue demonstratia totus pusa pe masa).

- Daca vreti sa aduceti functia ca o limita sa fie 0, prin translatii nu vom avea probleme.

- La ecuatiile polinomiale (ma refer la cele de grad mai mare ca 5) putem asa proceda: derivam (deci obtinem o ecuatie cu un grad mai mic, adica gradul 4 care se stie cum se rezolva).
Apoi alegem un punct critic fie din partea stinga fie din partea dreapta, trasam functia sa agunga linga 0, si poftim putem aplica ca in cazul de mai sus formula.
Problema ramine cam aceeasi, cum sa calculam asa integrale.
Calculul integralelor prin metoda derivam de ordinul n , iar apoi in locul lui n punem n-1, nu permament e clara (cel putin la factoriale spre exemplu).

De fapt
 se mai poate scrie ca:

meteor a scris:{nus' de ce nu vrea codecogs-ul sa mearga}

Merge, am refăcut eu. Verifică dacă le-am scris bine.
Puţină atenţie la spaţii şi la acolade şi merge!

Explica te rog de unde ai obtinut aceasta egalitate ca asa din prima nu imi dau seama.

Foarte foarte simplu, doar am spus ca e  la mintea cucosului   , trebue doar putin sa fii atent.

Priveste atent desenul.
1. Vezi cum am luat ca exemplu si am desenat functia f(x)
2. Vezi ca ea e definita pe intervalul [k, x]
3. Vezi ca in acest sistem cartezian de coordonate "colturile" (k,f(k)) si (x,f(x)) am putea construi un dreptunghi cu coordonatele (dimensiunile): (k,f(k)) ;(x,f(k)); (x,f(x)); (k;f(x))
4. Aria de sub graficul acestei functii reprezinta in desen aria acelui sector hasurat, in teorie este integrala de la k la x ( k fiind o constanta, x o variabila)
5. Construim bisectoarea, iar apoi schematic construim cam cum ar arata inversa acestei functii, in desen vei vedea o ramura (cea de sus) notata ca f^-1 (x).
6. Acum la fel vedem ca putem determina coordonatele "colturilor " acestei functii, si la fel construim acel dreptunghi si ii determinam coordonatele
7. Acum aria deasupra graficului functiei [ f^-1(x) ] (ghidat in acel dreptunghi)= aria subraficului functiei f(x) este aceeasi ca aria intreaga a dreptunghiului [cel de sus] minus aria subgraficului fucntiei f^-1(x) [inversa functiei] cuprinsa in cutarele intervale.
Obtinem o egalitate, din care stim totul in afara de o integrala cu limitele 2 fucntii din functia inversa.
Cine poate calcula asa integrale, treaba nu are.

Aici e descris cam superficial si la general, mai riguros trebue de descris o multime de conditii.

Vexi exemplul calculat de mai sus, desenul cutare este anume la acel exemplu.

Inainte sa ne apucam sa cautam functii inverse, trebuie sa ne asiguram ca ele exista. Din cate imi aduc aminte, conditia necesara si suficienta pentru ca o functie sa fie inversabila este ca ea sa fie bijectiva. Daca nu e, inversa nu exista.

O sa mai revin cu niste informatii si comentarii, dupa ce studiez mai atent metoda.

Stiu stiu, deaceea si am spus ca trebuesc impuse un sir de conditii: bijectiva, continua, derivabila, etc.

In mesajul https://cunoastere.forumgratuit.ro/t70-inversa-functiei#478 s-a strecurat o greseala mecanica (nu logica) de tipar. O repar (autocitatul nu e posibil pe acest forum ?! ), ea incepe de la propozitia:

" ... Pac- pac construim graficul functiei (construim bisectoarea, desenam cam unde si cum trebue sa arate inversa si cum sa o exprimam) si impunem conditia: pentru x>0 avem:
 
"
Si inlocuesc cu noile modificatii: