Coordonate şi sisteme de referinţă

În fizică, pentru a descrie diverse fenomene, este esenţial să cunoaştem locul unde acestea se petrec, respectiv poziţia lor în spaţiu, pentru a putea descrie evoluţia lor ulterioară. Pentru asta avem nevoie de repere. Metoda prin care sunt introduse aceste repere este definirea unui sistem de coordonate, astfel încât, faţă de acesta, să putem determina poziţia unui punct material la un moment dat.
Punctul material reprezintă în fizică un obiect ale cărui dimensiuni pot fi neglijate şi care poate fi caracterizat şi prin alte proprietăţi, în funcţie de fenomenul analizat (masă, sarcină, etc). Capitolul fizicii care studiază mişcarea punctului material se numeşte cinematică. Pentru studiul unor mişcări mai complexe, în care dimensiunile corpului nu mai pot fi neglijate se foloseşte sistemul de puncte materiale (un număr de puncte materiale ce aparţin unui volum).

Sistemele de coordonate folosite pentru a descrie poziţia unui punct material sunt: sistemul de coordonate cartezian şi sistemul de cordonate polar.
Pentru două dimensiuni, sistemul de coordonate cartezian este reprezentat de două axe ortogonale, iar poziţia unui punct material în raport cu acestea este descris de coordonatele pe cele două axe, .
Sistemul de coordonate polar descrie poziţia punctului material printr-un segment de dreaptă ce reprezintă distanţa de la punct la originea axelor şi unghiul descris de acel segment cu una dintre axe .




Punctele apropiate au valori ale coordonatelor apropiate. Într-un sistem cartezian punctele şi sunt alăturate dacă şi sunt infinitezimale.
Similar, pentru un sistem de coordonate polare: şi   sunt alăturate dacă   şi sunt infinitezimale.

Aşadar, distanţa între două puncte poate fi exprimată sub forma:
- în coordonate carteziene:

- în coordonate polare:

Această ultimă relaţie poate fi aproximată doar pentru şi foarte mici; pentu valori mai mari se construieşte integrala peste .

Poziţia unui punct material faţă de un sistem de coordonate poate fi la fel de bine descrisă prin celălalt sistem de coordonate. Asta înseamnă că sistemul de coordonate cartezian şi cel polar sunt echivalente. Trecerea de la un sistem la altul se numeşte transformarea coordonatelor.
În acest caz vom avea:
şi  
şi




Introducând şi în  expresia , vom obţine după simplificare relaţia .
Aşadar, distanţa dintre puncte alăturate , este o cantitate invariantă faţă de sistemul de coordonate folosit.

---

Conform primului principiu al lui Newton, o particulă se află în repaus relativ sau în mişcare rectilinie uniformă, atâta timp cât asupra sa nu acţionează alte forţe care să-i schimbe această stare de mişcare.
Când spunem că se deplasează rectiliniu şi uniform, spunem că se deplasează în linie dreaptă şi cu viteză constantă. Linia dreaptă reprezintă cea mai mică distanţă dintre două puncte aflate într-un spaţiu tridimensional Euclidian. Geometria acestui spaţiu este definită în coordonate carteziene astfel:


unde este distanţa infinitezimală dintre puncte reprezentate de intervalele de coordonate , şi . Aceasta reprezintă extensia în 3 dimensiuni a geometriei bidimensionale a unui plan şi poartă numele de spaţiu Euclidian plat.

Pentru a descrie mişcarea unui punct material (pe care îl vom denumi în continuare particulă) în acest spaţiu tridimensional, în conformitate cu legile mecanicii Newtoniene, este suficient să raportăm poziţia sa la sistemul cartezian de coordonate cu punctul de intersecţie în originea O.
Spunem că acest sistem reprezintă un sistem de referinţă.
Să ne imaginăm o particulă ce se află în originea O al acestui sistem de referinţă. După ce particula se deplasează cu viteză constantă în raport cu axele stabilim un nou sistem de referinţă ale cărui axe sunt paralele cu iar particula se află în punctul de origine al acestora.
Acest nou sistem de referinţă este un sistem de referinţă inerţial.

De aici putem desprinde următoarele concluzii generale:
- un sistem de referinţă reprezintă un set de coordonate faţă de care putem raporta poziţia unei particule;
- spunem că sistemul de referinţă este ataşat unei particule (sau obiect) atunci când particula se află tot timpul în originea sistemului de coordonate;
- sistemul de referinţă inerţial este un sistem de referinţă aflat în mişcare cu viteză constantă (sau în repaus relativ) faţă de un alt sistem de referinţă şi în care se respectă primul principiu al lui Newton.

Legile mecanicii Newtoniene se aplică sub cea mai simplă formă a lor în sistemele de referinţă inerţiale. Un observator aflat în acest sistem de referinţă inerţial (SRI) va descoperi un parametru, numit timp, în raport cu care schimbările de poziţie ale unei particule au loc la o rată constantă. Practic, mişcarea unei particule poate fi descrisă raportând coordonatele sale în funcţie de timp, şi având acceleraţia zero, astfel:



Având două seturi de cordonate carteziene şi putem stabili între acestea un set de transformări de coordonate corespunzător translaţiei, rotaţiei şi mişcării uniforme cu viteza .

Translaţia pe distanţa de-a lungul axei :








Rotaţia cu un unghi faţă de axa :








Mişcarea uniformă cu viteza de-a lungul axei :








Prezumţia lui Newton era că dacă două evenimente sunt simultane într-un sistem de referinţă, ele sunt simultane în toate sistemele de referinţă. Vom vedea, probabil în altă expunere, că totuşi lucrurile nu stau chiar aşa, conform teoriei lui Einstein. Însă, conform mecanicii Newtoniene, timpul era universal, pentru orice sistem de referinţă.
Astfel legea de mişcare în raport cu timpul, pentru două sisteme de referinţă inerţiale ce se deplasează cu viteza unul faţă de altul, este descrisă prin următoarele relaţii:




Relaţiile de mai sus poartă numele de transformările lui Galilei.

Ar mai fi de precizat că: o particulă căreia i se ataşează un sistem de referinţă se află în repaus în raport cu propriul său sistem de referinţă!
Astfel putem vedea de ce este impropriu să încercăm să ataşăm sistem de referinţă unui foton: cum un foton se deplasează întotdeuna cu viteza luminii faţă de orice sistem de referinţă, ataşându-i propriul sistem de referinţă ar însemna ca faţă de acesta să fie în repaus; ori, nu poate fi simultan şi în repaus şi în mişcare faţă de acelaşi sistem de referinţă, deci rezultă o contradicţie.
Dar despre astea, mai pe larg, poate într-un alt topic.