Calculul integralelor

Scris de **meteor** Lun Dec 23, 2013 12:19 am

In special la acest subiect as dori sa determinam o metoda generala care permite determinarea integralelor.

In special se accentueaza pe integralele din functii cu o singura variabila, functii de alea normale. Iar apoi, daca am reusi, cine ar dori cred ca mai usor ar putea aplica cam aceeasi idee pentru alte tipuri de integrale (mai complicate).

* Cercetarea si analiza se face superficial.

Scris de **meteor** Lun Dec 23, 2013 1:27 am

Sa incepem cu definitia ce insemna integrala functiei.
In linii mari, integrala din o functie este acea functie care rezultatul integrarii (se obtine o alta functie) derivata da functia insusi.
Adica:
$\left ( \int f (x) dx\right ){}'={\left ( F(x)+c \right )}'= f(x)$

Functia se poate deriva odata, apoi inca odata (aceasta se chiama derivata de ordinul doi), inca odata, etc. de n ori.
Eu numesc ca o functie degradeaza atunci chind la derivare ea devine egala cu 0. Se pare caci numai functiile polinomiale pot degrada, daca ordenul derivarii este mai mare ca cea mai mare putere.

Sa privim cum arata toat aceasta daca am prezenta in un sir (cu unele notatii de ale mele):
$\begin{matrix} \int \left ( \int \left ( ...(k)....\left ( \right \int f(x)dx \right ) dx \right ) dx =f^{-k}(x)=F^{k}(x)+a_{k-1}x^{k-1}+..+a_{0} & ... & \int f(x)dx=f^{(-1)}(x)=F^{(1)}(x)+c_{0} & f(x) & f{(x)}' & f{(x)}'' & ... & f^{(n)}(x) \end{matrix}$
$a_{k-1},...,a_{0},...,c_{0}$ - Sunt constantele cele care se obtin dupa integrare, cum faceam si pina acum.
$k$ -semnifica ordenul de integrare
$n$ - ordenul de derivare
Nu prea sunt convins daca corect am scris notatia ceea (cu ghindul de a fi ca oficiala) a integralei de ordenul k din f(x) (la fel spatiul dintre termeni ar fi bine de marit pentru claritate, insa cred ca nu va incapea sirul pe pagina, pe de alta parte nici nu stiu cum e in latex)

Teoretic se poate de spus caci : $f^{(0)}(x)=f(x)$ adica derivata (sau integrala) de ordenul 0 este egala cu insusi functia f(x).

Ideea este aceea caci noi trebue sa privim atit integralele chit si derivatele ca fiind o recursivitate.
Determinind termenul general al acestei recursivitati, noi usor am putea pune -1, si poftim am obtine valoarea integralei.

O metoda de determinare a derivatei de ordenul n nu am, insa cred ca se pot descrie niste trucuri (formule pentru produsul, raportul, puterea, etc. a doua functii elementare, etc.) sau cel mai sigura metoda e sa luam tocul in mina si sa derivam chiteva ordine la rindul pina chind nu observam ca apare o anumita ordine.

Totul asa ar fi prea usor, insa nu e chiar. Am luat chiteva functii elementare (si compuse) si am gasit derivata de ordenul n.
Mai in toate cazurile factorialul isi vira nasul.
Si aici e buba, caci wolfram alfa cica (-1)! = infinit sau nus' ce pe acolo, dar mie imi trebue cu totul altceva.
Si mai ceata este caci la multe derivate de ordenul n apar combinarile. Totul bine si ok, dar chind vine vorba de combinari la care un termen e negativ, atunci nu intelegi pe ce planeta esti.

Pentru a determina (-1)! chit este eu la moment as propune ca sa facem cam asa:
Sa gasim o anumita functie (potrivita) la care sa ii stim din start care este integrala. Apoi sa ii gasim derivata de ordenul n. Apoi in locul lui n punem (-1). Ecalam cele doua rezultate, si obtinem o ecuatie, iata din aceasta ecuatie sa il aflam pe (-1)!.

Cei ce stau cu fizica si matematica mai bine sunt interesat sa aflu daca au auzit de integrale (sau derivate) de ordin nenatural (defapt mai corect ar fi sa ii zicem neintreg) ?! Si daca sunt, ce aplicatii oare au ?!

Cica, factorialul cu valori neintregi pozitive e definit. Spre exemplu, cica $\left ( \frac{1}{2} \right )!=\sqrt{\pi }$ (uitativa ce de misterioasa formula, ce cauta si aici PI-ul ?!).
Adica sa calculam derivata de ordenul 1/2 din f(x): $f^{\left ( \frac{1}{2}\right )}(x)$
Nici nu e functia f(x) nici f'(x)
Au oare vreo insemnatate acest tip de derivate, sau sunt un non- sens ?!

Scris de **81MCN** Lun Dec 23, 2013 5:14 pm

meteor a scris:Spre exemplu, cica $\left ( \frac{1}{2} \right )!=\sqrt{\pi }$

Mai exact $\mathbf{\left ( \frac{1}{2} \right )!=\frac{\sqrt{\pi }}{2}}$

Scris de **Kenose** Lun Dec 23, 2013 5:33 pm

Multumesc, 81MCN! Am vrut sa scriu mai de dimineata pe marginea acelei relatii, dar o tot verificam si imi dadea acel factor de 1/2 in plus. Am zis ca sunt eu un incapabil si n-am mai insistat.

O sa scriu putin dupa ce revin, ca trebuie sa fug acum.

Scris de **81MCN** Lun Dec 23, 2013 5:41 pm

Dezvoltarea care te ajută să înțelegi de unde rezultă se bazează pe funcția gama.
$\mathbf{\Gamma (n+1)=n!}$

$\mathbf{\Gamma (n+1)=n\cdot \Gamma (n)}$

$\mathbf{\left (\frac{1}{2} \right )!=\Gamma \left ( \frac{1}{2}+1 \right )=\frac{1}{2} \cdot\Gamma \left ( \frac{1}{2} \right ) }$

$\mathbf{\Gamma \left ( \frac{1}{2} \right ) =\sqrt{\pi }}\Rightarrow \mathbf{\left (\frac{1}{2} \right )!=\frac{\sqrt{\pi }}{2}}$

Scris de **Orakle** Lun Dec 23, 2013 10:23 pm

Meteor bacsika nu cred ca ai tu acolo factoriale negative,faci o mare confuzie, tu poti sa ai eventual doar produse de genul :
$\left ( -1 \right )\left ( -2 \right )\left ( -3 \right )...\left ( -n \right )$
produs care este egal cu
$\left ( -1 \right )^{n}n!=\left\{\begin{matrix} n! &pt. n- par \\ -n!&pt. n- impar \end{matrix}\right.$
Factorialele negative se refera la cu totul alceva.Se pleaca de la relatia de recurenta a factorialului $\left ( n+1 \right )!=n!\left ( n+1 \right )$ si de exemplu pentru $n=-4$ obtinem: $\left ( -3 \right )!=\left ( -4\right )!\left ( -3 \right )$ poti observa ca acestea merg pe "dos"
similar poti scrie:
$\left ( -4 \right )!=\left ( -5\right )!\left ( -4 \right )$
$\left ( -5 \right )!=\left ( -6\right )!\left ( -5 \right )$

Daca restrangi relatiile obtii: $\left ( -3 \right )!=\left ( -6\right )!\left \left ( -5 \right )\left ( -4 \right )( -3 \right )$
Daca mai continui sa explicitezi de la (-6)! in jos obtii "minumile cu infinitul" de care ai amintit

Scris de **meteor** Lun Dec 23, 2013 11:52 pm

Orakle a scris:Meteor bacsika nu cred ca ai tu acolo factoriale negative,faci o mare confuzie, tu poti sa ai eventual doar produse de genul :
$\left ( -1 \right )\left ( -2 \right )\left ( -3 \right )...\left ( -n \right )$
produs care este egal cu
$\left ( -1 \right )^{n}n!=\left\{\begin{matrix} n! &pt. n- par \\ -n!&pt. n- impar \end{matrix}\right.$
Factorialele negative se refera la cu totul alceva.Se pleaca de la relatia de recurenta a factorialului $\left ( n+1 \right )!=n!\left ( n+1 \right )$ si de exemplu pentru $n=-4$ obtinem: $\left ( -3 \right )!=\left ( -4\right )!\left ( -3 \right )$ poti observa ca acestea merg pe "dos"
similar poti scrie:
$\left ( -4 \right )!=\left ( -5\right )!\left ( -4 \right )$
$\left ( -5 \right )!=\left ( -6\right )!\left ( -5 \right )$

Daca restrangi relatiile obtii: $\left ( -3 \right )!=\left ( -6\right )!\left \left ( -5 \right )\left ( -4 \right )( -3 \right )$
Daca mai continui sa explicitezi de la (-6)! in jos obtii "minumile cu infinitul" de care ai amintit

Fii mai explicit.

1. La ce te referi mai concret tu ca eu fac o mare confuzie ?!

2. Chiar daca tu ceva- ceva ai descusit cu factorialul negativ, cred ca pina la urma tu nimic nu ai explicat.

Asa si ramine nedefinit factorialul negativ (ma refer in special la factorial intreg negativ), cred ca nu poti spune[referindu-ma din explicatia ceea a ta] ca (-3)!= cu minus sau plus infinit.

3. Ce mai inseamna "bacsika", nu am mai auzit asa jargon.

Scris de **Orakle** Mar Dec 24, 2013 12:05 am

1-Sa o luam cu inceputul: de unde ai ajuns tu sa ai in ecuatii (-3)! ?
Asa ceva nu avea cum sa-ti apara in urma derivarii si eu am presupus ca ai asimilat (gresit) pe (-1)(-2)(-3) cu (-3)!
Am dreptate sau am gresit ?
Cu (-3)! se noteaza cu totul alceva
2-Daca dezvolti atent in continuare si pe (-6)! in dezvoltarea pe care am inceput-o eu ce obtii ?
nu obtii cumva ca (-3)!=...(-1000)(-999)(-998)...(-6)(-5)(-4)(-3) care nu da cumva plus minus infinit ?
3-bacsika" este "nenea" in ungureste Smile

)

Scris de **meteor** Mar Dec 24, 2013 12:42 am

1. Minus 3 factorial [ (-3)! ] am luat pur si simplu ca un exemplu, cine vrea sa calculeze integrala de ordenul 3, inlocuind in derivata de ordenul n pe n=-3 poftim si o necesitate de al aplica.
Dar sa nu grabim lucrurile ca multe nu is clare, noua ne ar fi de ajuns sa il aflam pe -1!

2. Pai tu ai evitat sa spui ca (-3)!= produsul ala de numere negative consecutive (cit vrei de mare) inmultit cu cine?! Tot cu un factorial negativ, pe care la fel nu il stim.

Este ca si cum am spune: o nedefinitie= cu o alta nedefinitie inmultita cu (-1000)(-999)...(-3)

3. Pai asa si spune, ca o sa nu incep si eu acum pe bulgareste , Surprised

Scris de **Orakle** Mar Dec 24, 2013 12:52 am

1 Scrie cand ai timp un exemplu sa vad de unde apare (-3)!
2 Am considerat ca se subantelege si m-am bazat pe primul punct
3 Smile

Scris de **meteor** Mar Dec 24, 2013 10:22 am

Nu se subintelege nimic, nu vad nici o explicatie clara pina la capat chit este (-1)!

In general despre subiectul cutare, se pare ca sunt ceva greseli. Derivata de ordenul n la o multime de functii insemna o anumita suma, dar indicii sumeni se pare ca nu pot fi valori nenaturale, mai revin.

Scris de Continut sponsorizat

Calculul integralelor

Calculul integralelor

Re: Calculul integralelor

Re: Calculul integralelor

Re: Calculul integralelor

Re: Calculul integralelor

Re: Calculul integralelor

Re: Calculul integralelor

Re: Calculul integralelor

Re: Calculul integralelor

Re: Calculul integralelor

Re: Calculul integralelor

Re: Calculul integralelor