Rotatii particulare in 4 dimensiuni

Scris de **Orakle** Mier Noi 13, 2013 2:47 pm

Fie
$dS^2=dS^+dS^-=dx_{1}^{2}+dx_{2}^{2}+dx_{3}^{2}+dx_{4}^{2}$
unde
$dS^+=dx_{4}+i(\vec{i}dx_{1}+\vec{j}dx_{2}+\vec{k}dx_{3})=dx_{4}+i\vec{i}dx_{1}+i\vec{j}dx_{2}+i\vec{k}dx_{3}=$
si
$dS^-=dx_{4}-i(\vec{i}dx_{1}+\vec{j}dx_{2}+\vec{k}dx_{3})=dx_{4}-i\vec{i}dx_{1}-i\vec{j}dx_{2}-i\vec{k}dx_{3}=$

Versorii: $\vec{i},\vec{j},\vec{k}$ au proprietatile $\vec{i}^{2}=\vec{j}^{2}=\vec{k}^{2}=1$ si oricare doua diferite inmultite egal cu zero
Acelasi forma patratica o putem obtine si daca consideram:

$dS^+=dx_{4}+\vec{i _{x}}dx_{1}+\vec{i _{y}}dx_{2}+\vec{i _{z}}dx_{3}$
si
$dS^-=dx_{4}-\vec{i _{x}}dx_{1}-\vec{i _{y}}dx_{2}-\vec{i _{z}}dx_{3}$
unde:
$\vec{i _{x} }^{2}=\vec{i _{y}}^{2}=\vec{i _{z}}^{2}=-1$
respectiv $\vec{i _{z} }\vec{i_{y}}=-\vec{i _{y}}\vec{i _{z}}$ ...
sunt anticomutativi fata de inmultirea lor doua cate doua.
Putem reprezenta vectorul S in mai multe moduri echivalente folosind versori pentru cele patru axe cu proprietati diferite .
Dar sa revenim la rotatii.
S^2 este o distanta in R4 si marimea ei este invarianta fata de sistemul de referinta ales.Doua SR se pot echivala printr-o rotatie si printr-o translatie convenabila.Ne intereseaza deocamdata doar cazul cazul particular a doua SR rotite una fata de celalta (nu si traslatate),si deasemenea rotatia o vom considera o rotatie particulara astfel incat aceasta rotatie sa fie o rotatie compusa doar din trei rotatii corespunzatoare rotatiei planurilor: (x1,x4) , (x2,x4) , (x3,x4)

Scris de **Orakle** Mier Noi 13, 2013 3:41 pm

prima rotatie (planul x3,x4) cu unghiul $\alpha_{1}$

$\begin{bmatrix} dx_{11}\\ dx_{21}\\ dx_{31}\\ dx_{41} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0& 0\\ 0& 1& 0& 0 \\ 0 & 0 & \cos \alpha_{1} & \sin \alpha_{1} \\ 0& 0& -\sin \alpha_{1} & \cos \alpha_{1} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} dx_{1}\\ dx_{2}\\ dx_{3}\\ dx_{4} \end{bmatrix}$

a doua rotatie (planul X21,x41) cu unghiul $\alpha_{2}$

$\begin{bmatrix} dx_{12}\\ dx_{22}\\ dx_{32}\\ dx_{42} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0& 0\\ 0& \cos \alpha_{2}& 0& \sin \alpha_{2}\\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0& -\sin \alpha_{2}& 0 & \cos \alpha_{2} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} dx_{11}\\ dx_{21}\\ dx_{31}\\ dx_{41} \end{bmatrix}$

A treia rotatie si ultima (planul X12,x42) cu unghiul $\alpha_{3}$

$\begin{bmatrix} dx'_{1}\\ dx'_{2}\\ dx'_{3}\\ dx'_{4} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} dx_{13}\\ dx_{23}\\ dx_{33}\\ dx_{43} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} \cos \alpha_{3} & 0 & 0& \sin \alpha_{3}\\ 0&1 & 0& 0\\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ -\sin \alpha_{3}& 0& 0 & \cos \alpha_{3} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} dx_{12}\\ dx_{22}\\ dx_{32}\\ dx_{42} \end{bmatrix}$

Scris de **Rami** Mier Noi 13, 2013 8:07 pm

Un sfat: cînd foloseşti codecogs pentru LaTeX şi inserezi expresia generată în HTML, setează-i rezoluţia la 120 (imediat de sub tabelul în care scrii ecuaţia), că noi, ăştia mai chiorii, avem probleme cu citirea indicilor. Laughing

De exemplu: la
$\vec{i _{z} }^{2}=\vec{i _{y}}^{2}=\vec{i _{z}}^{2}=-1$
primul termen nu trebuia să fie $\vec{i_x}^2$ ?

Scris de **Orakle** Mier Noi 13, 2013 9:04 pm

Ai dreptate
Am si corectat. Smile

Scris de **Rami** Mier Noi 13, 2013 10:24 pm

Atunci corectează şi la a doua matrice din ultimul rând, $dx_{32}$ cu $dx_{33}$ . Very Happy

Scris de **Orakle** Mier Noi 13, 2013 10:26 pm

Scris de **Orakle** Mier Noi 13, 2013 10:47 pm

$\begin{bmatrix} dx_{12}\\ dx_{22}\\ dx_{32}\\ dx_{42} \end{bmatrix}=\Re (2,4)\cdot \Re (3,4)\begin{bmatrix} dx_{1}\\ dx_{2}\\ dx_{3}\\ dx_{4} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0& 0\\ 0& \cos \alpha_{2}& 0& \sin \alpha_{2}\\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0& -\sin \alpha_{2}& 0 & \cos \alpha_{2} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0& 0\\ 0& 1& 0& 0 \\ 0 & 0 & \cos \alpha_{1} & \sin \alpha_{1} \\ 0& 0& -\sin \alpha_{1} & \cos \alpha_{1} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} dx_{1}\\ dx_{2}\\ dx_{3}\\ dx_{4} \end{bmatrix}$

$\Re (2,4)\cdot \Re (3,4)=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0& 0\\ 0& \cos \alpha_{2}& -\sin \alpha_{2}\sin \alpha_{1}& \sin \alpha_{2}\cos \alpha_{1}\\ 0 & 0 & \cos \alpha_{1} & \sin \alpha_{1} \\ 0& -\sin \alpha_{2}& -\cos \alpha_{2}\cos \alpha_{1} & \cos \alpha_{1}\cos \alpha_{2} \end{bmatrix} resp$

$\Re (3,4)\cdot\Re (2,4)=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0& 0\\ 0& \cos \alpha_{2}& 0& \sin \alpha_{2}\\ 0 &- \sin \alpha_{1}\sin \alpha_{2} & \cos \alpha_{1} & \sin \alpha_{1}\cos \alpha_{2} \\ 0& -\cos \alpha_{1}\sin \alpha_{2}& -\sin \alpha_{1} & \cos \alpha_{1}\cos \alpha_{2} \end{bmatrix}$

$\Re (2,4)\cdot \Re (3,4)=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0& 0\\ 0& \cos \alpha_{2}& -\sin \alpha_{2}\sin \alpha_{1}& \sin \alpha_{2}\cos \alpha_{1}\\ 0 & 0 & \cos \alpha_{1} & \sin \alpha_{1} \\ 0& -\sin \alpha_{2}& -\cos \alpha_{2}\cos \alpha_{1} & \cos \alpha_{1}\cos \alpha_{2} \end{bmatrix}$

relatiile inca nu sunt corecte ramane pe maine

$\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0& 0\\ 0& 1& 0& 0 \\ 0 & 0 & \cos \alpha_{1} & \sin \alpha_{1} \\ 0& 0& -\sin \alpha_{1} & \cos \alpha_{1} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0& 0\\ 0& \cos \alpha_{2}& 0& \sin \alpha_{2}\\ 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0& -\sin \alpha_{2}& 0 & \cos \alpha_{2} \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0& 0\\ 0& \cos \alpha_{2}& 0& \sin \alpha_{2}\\ 0 &- \sin \alpha_{1}\sin \alpha_{2} & \cos \alpha_{1} & \sin \alpha_{1}\cos \alpha_{2} \\ 0& -\cos \alpha_{1}\sin \alpha_{2}& -\sin \alpha_{1} & \cos \alpha_{1}\cos \alpha_{2} \end{bmatrix}$

Scris de Continut sponsorizat

Rotatii particulare in 4 dimensiuni

Rotatii particulare in 4 dimensiuni

Re: Rotatii particulare in 4 dimensiuni

Re: Rotatii particulare in 4 dimensiuni

Re: Rotatii particulare in 4 dimensiuni

Re: Rotatii particulare in 4 dimensiuni

Re: Rotatii particulare in 4 dimensiuni

Re: Rotatii particulare in 4 dimensiuni

Re: Rotatii particulare in 4 dimensiuni